Лекция 6. Формула Грина

Теорема (формула) Грина. Пусть G – плоская односвязная область с кусочно-гладкой границей L. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим переменным в области G и на L.

Тогда справедлива формула Грина

.

Доказательство. 1) Назовем плоскую область D (в плоскости OXY) правильной, если любая прямая, параллельная координатной оси (OX или OY) пересекает область не более, чем в двух точках. Можно показать, что область G можно представить как объединение конечного числа правильных областей .

Тогда по свойству аддитивности двойной интеграл в правой части формулы Грина равен сумме двойных интегралов по правильным областям. Криволинейный интеграл в левой части равен сумме криволинейных интегралов по границам правильных областей, так как криволинейные интегралы по общим границам любых правильных областей различны по знаку из-за различных направлений обхода границы и взаимно уничтожаются при суммировании.

Поэтому доказательство может быть проведено для правильной области G.

2) Пусть G – правильная область. Так как P, Q могут быть произвольными функциями, то формула Грина сводится двум формулам и, каждую из которых надо доказать. Докажем первую формулу, вторая доказывается аналогично.

= == == =

Вычисление площади области по формуле Грина

По свойству 3 двойного интеграла площадь области D можно вычислить по формуле

. Поэтому достаточно выбрать P, Q так, чтобы , чтобы с помощью криволинейного интеграла по формуле Грина можно было бы вычислять площадь области.

Например, можно выбрать Q=x, P=0. Тогда . Можно выбратьQ=0, P=y, тогда . Очень полезна бывает симметричная формула при.

Пример. Вычислить площадь эллипса с полуосями a, b

.

Полный дифференциал и его вычисление

Теорема (о полном дифференциале). Для того чтобы выражение - было полным дифференциалом некоторой функции- потенциала, необходимо и достаточно, чтобы в условиях формулы Грина было выполнено одно из следующих четырех условий (эквивалентных условий полного дифференциала)

1. зависит только от начальной A и конечной B точек дуги и не зависит от формы дуги (не зависит от пути интегрирования),

2. для любого кусочно-гладкого контура

3. ,

4. .

Доказательство. Схема доказательства теоремы . По этой цепочке можно последовательно добраться от любого пункта к любому другому.

Дополнительно предположим, что существуют и непрерывны вторые смешанные производные функции V. Тогда они равны.

.

. Это следует из формулы Грина.

. Пусть точки A, B соединены двумя дугами L₁ и L₂. Тогда из них можно составить контур , интеграл вдоль которого по п.2 равен нулю.

==-

.

Поэтому =.

. Докажем, что - потенциал, то есть, что

. Докажем первое соотношение, второе доказывается аналогично.

=

Заметим, что такая запись интеграла показывает, что интеграл не зависит от формы дуги. Поэтому мы можем в первом интеграле провести дугу через точку (x, y), чтобы в первом и втором интеграле сократились интегралы по дуге, соединяющей начальную точку с точкой (x, y). В первом интеграле выберем в качестве дуги, соединяющей точку (x, y) с точкой (x+x) отрезок прямой, параллельный оси OX. На этом отрезке y не изменяется, поэтому dy=0.

Тогда, продолжая равенство, получим

==

(здесь мы перешли от криволинейного интеграла к определенному, так как дуга интегрирования – отрезок, параллельный оси OX и применили теорему о среднем для определенного интеграла). Теперь используем непрерывность функции P(x, y) по переменной x.

= . Первое соотношение доказано.

Для доказательства второго соотношения варьируется переменная y, дуга, соединяющая точки (x_0, y₀), и (x, y+y) проводится через точку (x, y) и далее по отрезку, параллельному оси OY, соединяющему точки (x, y) и (x, y+y).