Разложения в ряд Фурье функций, заданных на отрезке
Выше
были получены формулы коэффициентов
ряда Фурье при разложении в ряд функции,
заданной на отрезке
(или периодических функций с периодом
).
Выведем
формулы
коэффициентов ряда Фурье при разложении
в ряд функции, заданной на отрезке
.
Если
функция
задана на отрезке
(или
периодическая с периодом
),
то функция
имеет период
(первое свойство периодических функций).
Поэтому ее можно разложить в ряд Фурье
для функции с периодом
.
=
.
,
,
.
Сделаем
в этих формулах замену переменных
,
,
.
=
(в точках непрерывности функции).
В
точках разрыва функции
.
Возвращаясь к переменной x,
заменяя формально t
на x,
получим формулы
коэффициентов ряда Фурье при разложении
в ряд функции, заданной на отрезке
.
,
,
.
=
(в точках непрерывности функции).
В
точках разрыва функции
.
Пример.
Разложить в ряд Фурье функцию
,
не вычисляя коэффициенты ряда Фурье.
Функция непрерывна, по теореме Дирихле
,
,
,
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Свойства четных и нечетных функций.
произведение четных функций – четная функция. Произведение нечетных функций – четная функция, произведение четной функции на нечетную – нечетная функция.
Обозначим
- нечетную и четную функции:
.
Получим
,
.
.
Рассмотрим
формулы разложения функции
,
заданной на отрезке
в ряд Фурье
,
,
.
=
(в точках непрерывности функции).
В
точках разрыва функции
.
Если
функция
четна,
то по четности косинуса, нечетности
синуса и свойству 1 под интегральные
функции в
.
Следовательно,
,
,
.
=
(в точках непрерывности функции).Четная
функция разлагается по четным функциям.
Если
функция
нечетна,
то по четности косинуса, нечетности
синуса и свойству 1 подинтегральные
функции в
.
Следовательно,
,
,.
.
=
(в точках непрерывности функции).Нечетная
функция разлагается по нечетным функциям.
Разложение в ряд
Фурье функций, заданных на отрезке
по синусам и косинусам кратных дуг
Так
как функция задана
на отрезке
,
то ее можно
доопределить на отрезок
четным или нечетным образом.
Если функция доопределена четным образом, то она, как четная функция может быть разложена по формулам для четной функции
,
,
.
=
(в точках непрерывности функции).
Это – разложение в ряд Фурье по косинусам кратных дуг.
Если функция доопределена нечетным образом, то она, как нечетная функция может быть разложена по формулам для нечетной функции
,
,.
.
=
(в точках непрерывности функции).
Это – разложение в ряд Фурье по синусам кратных дуг.
Одну
и ту же функцию, заданную на отрезке
,
можно
разложить и по синусам, и по косинусам
кратных дуг.
Пример.
Разложить по косинусам и синусам кратных
дуг функцию
,
заданную на отрезке
.
Так
как мы доопределяем функцию на отрезок
при разложении по косинусам и синусам
кратных дуг, то
.
Разложим функцию по косинусам кратных дуг.
,
,
.
=
=1,
.
Разложим функцию по синусам кратных дуг.
,
,.
.
=
=
,
,
(теорема Дирихле).
1Далее граница области предполагается кусочно-гладкой
2Это замечание относится ко всем рассматриваемым далее интегралам
3При обсуждении свойств предполагается выполнение условий теоремы существования
4предполагается, что в области есть только одна точка разрыва функции
5Здесь интеграл вводится несколько упрощенно. Более строгое определение интеграла приведено в выпускеVIIучебника.
6Эти требования можно ослабить, распространив интеграл на функции со счетным числом разрывов первого рода (выпускVII.учебника).
7Это очевидно, иначе предел не существует, но это стоит подчеркнуть.