Perekhodnye_protsessy_lektsii

3

В зависимости от фазы включения ia 0 может изменяться от max значе-

ния до «0». В трехфазной системе такие условия могут возникнуть только в одной фазе.

Кривая изменения тока в фазе имеет вид:

ik

i a

in

Рис. 2.4

Чем больше ia , тем больше смещается результирующая кривая ik . Кривая ia является осью симметрии ik . Наибольшее значение ia зависит от фазы включения и от предшествующего режима. Если i 0− в цепи отсутствовал, то ia 0 достигает max значения. Этот случай принимается за расчетный.

Если цепь была разомкнута, то ik достигает max, при прохождении напряжения через ноль. При практических расчетах max мгновенное значение полного тока КЗ (ток ударный iу ) наступает через полпериода, т.е. через

0,01 сек. с возникновения короткого замыкания.
Выражение для iу	запишется:
iу	= I n,m + I n,m × e−0,01/ Ta = K у × I n,m ,	(2.6)

где K у =1 + e−0,01/ Ta - ударный коэффициент.

1<Ку<2.

Чем меньше Тa, тем быстрее затухает ia и тем меньше Ку.

2.2. Действующие значения полных величин и их отдельных слагающих.

При известной зависимости i = f(t) для действующего значения периодической составляющей тока в момент времени t можно записать:

							4
				1	t+T / 2
	Int	=			∫i2dt .		(2.7)
				T t−T / 2

При этом делается допущение, что In и ia за период t неизменны. Действующее значение периодической составляющей для момента

времени t определяются:

In,t =

In,mt

.

(2.8)

2

Действующее значение для апериодической составляющей:

Ia,t = ia,t.

(2.9)

Действующее значение полного тока:

It =

I n,t

2 + I a,t

2 .

(2.10)

Действующее значение ударного тока при условии ia

0

= I n,m запишет-

ся:

= In

.

I y = In

2 + [(K y -1)

In ]2

1 + 2(K y -1)2

2

(2.11)

2.3. Определение эквивалентной постоянной времени

При отсутствии

кратных

корней

характеристического

уравнения

Z ( p) = 0 для свободного тока запишем:

Iat

= Ia1 × e p1t

+ Ia 2 × e p2t

+ ... + Ian × e pnt

(2.12)

Если в схеме отсутствует емкость, то корни характеристического уравнения могут быть вещественными и отрицательными:

p = -

1

; p

= -

1

; …

; p

= -

1

.

(2.13)

2

n

1

Ta1

Ta 2

Tan

Начальные значения токов Ia1, Ia2, …,

Ian

и постоянные Ta1, Ta2, …, Tan

являются функциями параметров всех элементов схемы.

При практических расчетах используется упрощенное выражение:

									5
		Ia,t = Ia		0			× e−t / Ta,э ,		(2.14)
	где Ta,э - эквивалентная постоянная времени.
	Тогда	Ta,э =					x∑	.	(2.15)
					ω × r∑
	где x∑ - суммарное индуктивное сопротивление цепи при r = 0;								r∑ - суммар-
	ное активное сопротивление цепи при x = 0.

1

Лекция №3

Переходный процесс в неподвижных магнитносвязанных цепях

3.1. Основные уравнения в неподвижных магнитносвязанных цепях

Рассмотрим переходный процесс в цепи.

		M
u	L1	L2
r1		r2
	Рис. 3.1

Параметры второго контура приведены к обмотке высшего напряжения трансформатора. Для контуров запишем:

T10 = L1 ; T20 = L2 .

r1 r2

Коэффициенты рассеяния для контуров:

		L1	− M			L2	− M
σ	1 =			; σ 2	=			.
			L1				L2

Коэффициент магнитной связи между контурами:

К = М .

L1L2

Общий коэффициент рассеяния:

σ = 1 − K 2 = 1 −	M 2	= σ		+ σ		− σ σ
			1		2		2
	L1L2					1

Если σ1 и σ 2 невелики, то можно записать:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

	2
σ ≈ σ1 + σ 2 .	(3.5)
Считаем, что магнитные потоки само –	и взаимоиндукции совпадают.

Для каждого контура запишем:

u(t) = i r + L				di1		+ M		di2		;	(3.6)
1 1		1 dt						dt
0 = i r	+ L		di2			+ M	di1		.		(3.7)
			dt
2 2	2						dt

В операторной форме при начальных нулевых условиях запишем си-

стему:

u( p) = r1I1 ( p) + L1 pI1 ( p) + MpI 2 ( p) ;

0 = r2 I 2 ( p) + L2 pI 2 ( p) + MpI1 ( p) .

Из (3.9) получим:

I2 ( p) = -

Mp

× I1

( p) .

r2

+ L2 p

Подставим (3.10) в (3.8):

u( p) = r I

( p) + L pI

( p) + I

( p)

(-Mp) × Mp

;

1

1

1

1

1

r2

+ L2 p

I1

( p) =

u( p)

M

2

p

2

-

+ r + L p

r2 + L2 p

1

1

или

I1 ( p) = u( p) .

Z1 ( p)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

3.2. Решение характеристического уравнения для неподвижной магнитносвязанной цепи

Преобразуем Z1 ( p) :

3

								M			2	p																		M		2	p
Z	( p) = r + L -																		× p = r + 1 -																L p =
						r				+ L p																		(r		+ L p)L
1		1			1																1																1
							2					2																	2			2	1
																				M 2 p
					= r1 +				1		-															L1 p =
																				L2
														1 +							p L			× r
																				r2		1		2
					M 2 p																								M 2 p ×T20
= r + 1 -																	L p = r +
																								1 -														L p .
							L1L2 r2																						+ T p) × L L
1			(1 + T20 p)																1		1				(1														1
																														20			1			2
										L2
Запишем выражение для σ из (3.4):
					σ = 1 −					M 2							; или σ =						L L − M 2
																								1	2							;
										L1L 2														L1L2
Тогда										σL L = L L - M 2
																									;
												1					2		1		2

Отсюда

M 2 = L1L2 (1 - σ ) ;

(3.13)

(3.14)

Подставим (3.14) в (3.13).

L1L2 (1 - σ ) pT20

Z1 ( p) = r1

+

-

1

L1 p ;

(1 + T20 p)L1L2

Преобразуем правую часть:

(1 - σ ) pT20

+ T20 p - (1 - σ ) pT20

1 + σT20 p

r1

-

1

+ 1

L1 p = r1 +

(1 + T20 p)

L1 p = r1

+

1 + T20 p

L1 p .

(1 + T20 p)

Подставим L1 = T10 × r1 .

	(1 + σT20 p) ×T10 r1 × p			(1 + σT20 p)×T10 p
r1 +		= 1	+		r1	=
	1 + T20 p			1 + T20 p

4

	1 + T p + T p + σT T p2						p2 ×σT T + p(T + T ) + 1
=	20	10	10 20	r		=	10 20	10 20		r ;
		1 + T20 p			1		1 + T20 p				1

Запишем

		p2σT T + p(T + T ) + 1
Z	( p) =	10 20	10 20		r .		(3.15)
1		1 + T20 p				1

где Z1 ( p) - операторное сопротивление первого контура с учетом магнитной связи со вторым контуром.

Если σ = 1, т.е. магнитная связь отсутствует, индуктивность L1 неизменна.

Из характеристического уравнения Z1 ( p) = 0 находим корни:

		- (T + T ) ± (T + T )2		- 4σT T
p	=	10 20	10 20	10 20	.	(3.16)
			2σT10T20
1,2

Так как (T10 + T20 )2 > 4σT10T20 , то оба корня действительны и меньше

«0».

3.3. Основные соотношения для неподвижной магнитносвязанной цепи

												p	= -		T10 + T20			× (1 ± q) ,
															2σT10T20
												1,2
где q = 1 -			4σT10T20
										.													(3.17)
			(T	+ T			)2
10						20
Свободный ток каждого контура имеет 2 составляющие, которые зату-
хают с постоянными:
T ¢ = -		1		=		2		×	σT10T20				=		2	×	σT10T20		×	1 + q	=	2(1 + q) ×σT10T20		.(3.18)
			p 1			- q T + T							1		- q T + T 1 + q							(1 - q2 )(T + T )
1							10					20				10		20				10	20

Подставим выражение для q2 из (3.17)

5

T ¢ =			2(1 + q)σT			T			=	2(1 + q) ×σT T		(T	+ T	)2	=
				10		20				10	20	10	20
			4σT T							2 × 4σT10T20 (T10 + T20 )
	1	-1 +	10 20			(T		+ T )
				2
			(T10 + T20 )				10	20

=	1 + q	(T	+ T ) .	(3.19)
2		10	20

По аналогии с T ′ запишем:

T ¢¢ = -	1		=		1 − q			(T + T ) .
	p2			2					10		20
Отношение:
		T ′		=		1	+ q		.
		T ¢¢					- q
				1
Ток в контуре 1:
i (t) = i + i ¢ + i										²	;
1				1			1		1

Ток в контуре 2:

i2 (t) = i2¢ + i2².

(3.20)

(3.21)

(3.22)

(3.23)

Соотношение между начальными значениями свободных токов запишется:

′′

T20 − T ′′

i1

0

=

;

(3.24)

′

0

T10 − T

′′

i1

′′

0

′

0

.

(3.25)

i2

= −i2

3.4. Влияние рассеяния в неподвижной магнитносвязанной цепи

Запишем с учетом (3.18) и T ′′ по аналогии:

p1 + p2 = -	1	-	1		(1 - q2 )(T + T		)	+	(1 - q2 )(T + T )			=
				= -	10	20			10	20
	T ¢		T ¢¢		2(1 + q)σT T				2(1 - q)σT T
					10	20			10	20

= -

2(1 - q2 )(T

+ T )

= -

T

+ T

10

20

10

20

.

2(1 - q2 )σT10T20

σT10T20

Запишем с учетом (3.19), (3.20) и (3.17):

p1 p2

=

1

=

2 × 2

=

4

T ¢

×T ¢¢

(1 + q)(T10

+ T20 )(1 - q)(T10

+ T20 )

(1 - q2 )(T

+ T )2

10

20

=

4

=

4(T + T

)2

=

1

10

20

.

4σT T

4σT T (T + T )2

σT10T20

1

-1 +

10 20

(T

+ T )2

10

20

10

20

2

(T10 + T20 )

10

20

Из (3.27) запишем:

1

=

1

;

или T

′ ×T ′′ = σT10T20 .

T ¢ ×T ¢¢

σT10T20

или

σ =

T ′ ×T ′′

.

T10T20

Из (3.26) запишем:

6

(3.26)

=

(3.27)

(3.28)

(3.29)

	1		+	1		=	T10 + T20		.		(3.30)
	T ′			T ′′
								σT10T20
В (3.30) подставим (3.29)
	1		+	1		=	T10 + T20		.
	T ¢			T ¢¢
Преобразуем:								T ¢ ×T ¢¢
		T ′ + T ′′				= T10 + T20
		T ¢ ×T ¢¢						T ¢ ×T ¢¢
или	T ′ + T ′′ = T10 + T20 .										(3.31)

7

Из (3.29) видно, что σ наибольшее значение имеет при T10 = T20 . Заметное влияние σ сказывается при σ ³ 0,5 . Если контуры симметричны, то

′

0

′

0

.

i1

= i1

Анализ (3.29) и (3.31) показывает, что при:

T20

′

0

;

T10

> 1 рост σ приводит к снижению i1

T20

< 1 рост

σ

′

0

.

T10

приводит к увеличению i1

3.5. Приближенное решение в неподвижной магнитносвязанной цепи

При сильной магнитной связи и малом рассеянии σ можно ввести допущения.

В выражении:

q =

1 −

4σT10T20

(T + T )2

10

20

4σT10T20

можно пренебречь составляющей

.

(T

+ T

)2

T10 + T20

10

20

Тогда p

2

= −

,

p = 0 .

σT10T20

1

T ′′ = −

1

=

σT10T20

.

(3.32)

p2

T10 + T20

Из (3.19) для q =1 запишем

T ′ = T10 + T20 .

(3.33)

Выражение для T ′ можно определить уточнено из (3.31):

T ′ = T10 + T20 − T ′′ .

(3.34)

С ростом σ погрешность оценки T ′

и T ′′ возрастает. Для σ ≤ 0,4 эти-

ми погрешностями можно пренебречь.

При малых σ T ′′ << T10 ; T ′′ << T20 . В выражении (3.24) T ′′

можно пре-

небречь. Выражение (3.24) примет вид: