Теоретические основы электротехники-1

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

103

1.4. Электрическое напряжение и потенциал

ВОПРОСЫ

1.(О) При перемещении заряженного тела вдоль некоторого пути работа не совершается. Каково направление вектора E по отношению к траектории перемещения в точках пути?

2.Силы поля совершают работу по перемещению тела с зарядом q < 0. В каком направлении перемещается тело, если электрическое поле однородное и направление вектора E задано?

3.Под действием силы поля тело с зарядом q > 0 переместилось из точки À в точку Â. Каков знак напряжения uÀÂ?

4.По проводу (рис. В1.13) течет постоянный ток i.

	B
	Одинаковое ли значение принимает интеграл E dl, âû-
	A
	числяемый вдоль путей 1 è 2, åñëè ïóòü 1 проходит
	полностью вне провода, а путь 2 — своей частью, ука-
	занной пунктирной линией, — в проводе?
	5. Напряжение между любыми точками в некоторой
	области равно нулю. Означает ли это, что в ней элек-
	трическое поле отсутствует?	Ðèñ. Â1.13
	6. (О) Напряжение между любыми точками на данной
	поверхности равно нулю. Означает ли это отсутствие
	электрического поля на поверхности?
	7. (О) Имеются ли ограничения, налагаемые на выбор
	точки, в которой потенциал электрического поля мож-
	но принять равным нулю?
	8. Можно ли, изобразив линии напряженности элек-
	трического поля, определить направление, в котором
	потенциал: à) возрастает с наибольшей скоростью;
	á) не изменяется; â) уменьшается с наибольшей скоро-	Ðèñ. Â1.14
	ñòüþ?

9.Изменится ли напряженность электрического поля, если изменить потенциал во всех точках существования поля: à) на одно и то же число; á) â k ðàç?

10.Существует ли электрическое поле в полости (рис. В1.14) заряженного проводящего тела? Чему равна разность потенциалов между точками À, Â?

11.(О) Имеет ли смысл понятие емкости: à) бесконечно длинного прямого провода; á) точечного тела; â) тела из вещества с диэлектрической проницаемостью ; ã) проводящего тела с полостью, заполненной диэлектриком; ä) проводящего листа конечных размеров?

104 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

УПРАЖНЕНИЯ

1.Постройте кривую изменения потенциала между обкладками конденсатора для условий упражнения 3 § 1.2.

2.(Р) Вдоль прямой 0x, соединяющей пластины плос-

кого многослойного конденсатора, потенциал изменяется по одному из указанных на рис. В1.15 законов. Сколько слоев диэлектрика имеет конденсатор? Каким образом можно определить соотношение между диэлектрическими проницаемостями слоев из графика? Постройте кривые изменения напряженности поля между обкладками.

3.Напряженность электрического поля между обкладками плоского многослойного конденсатора изменяется по указанному на рис. В1.16 закону. Определите число слоев диэлектрика в каждом из примеров и соотношение между диэлектрическими проницаемостями вещества слоев. Изобразите кривые изменения потенциала между обкладками.

4.Найдите разность потенциалов между указанными на рис. В1.17 точками À, Â. Решите задачу для случаев, когда поле создано à) точечными телами, á) линейными весьма длинными прямыми проводами, плотность зарядов которых указана в скобках. Диэлектрическая

проницаемость среды равна 0.

Ðèñ. Â1.15

Ðèñ. Â1.16

Ðèñ. Â1.17

5. Найдите разность потенциалов между точками À,  (рис. В1.18). Расчет выполните для случаев, когда поле создано: à) проводящим шаром радиусом R; á) шаром радиусом R с объемной плотностью заряда ; â) весьма длинным проводящим цилиндром радиусом R; ã) весьма длинным цилиндром радиусом R с объемной плотностью заряда . Диэлектрическая проницаемость среды равна 0. Примите rA 0,6R (вариант á), rA 0,8R, r 0,6R (вариант â).

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

105

Ðèñ. 1.18

ЗАДАЧИ

1.(Р) Выведите выражение для определения потенциала поля двух разноименных точечных зарядов +q è –q, расстояние между которыми d. Упростите его для случая, когда потенциал следует искать в точках, расстояние r до которых значи- тельно превышает d.

2.(Р) Используя полученное ранее выражение (см. задачу 1, §1.1) для напряженности поля, создаваемого двумя бесконечно протяженными заряженными плоскостями, выведите выражение для потенциала поля. Расстояние между

плоскостями d, поверхностная плотность их зарядов +− è –−. Изобразите кривую изменения потенциала вне и между плоскостями вдоль прямой, нормальной плоскостям.

3. (Р) Рассчитайте емкость на единицу длины двухпроводной воздушной линии, предполагая, что радиус R проводов значительно меньше расстояния D между ними, и допуская равномерным распределение зарядов проводов по окружностям их сечений. Примите R 1 ñì, D 20 ñì.

4. (Р) Напряжение между обкладками цилиндрического коаксиального конденсатора U 60 кВ. Радиус внешней обкладки Re 10 см. Рассчитайте минимально допустимый радиус Ri внутренней обкладки, при котором напряженность электрического поля не превысит напряженности пробоя воздуха Eïð 30 êÂ/ñì.

5. Рассчитайте емкость на единицу длины коаксиального кабеля, имеющего два слоя изоляции. Поверхность раздела слоев изоляции цилиндрическая, коаксиальная с поверхностью жилы и оболочки кабеля. Радиус жилы R0 1 см, поверхности раздела — R1 3 см, оболочки — R2 4 см. Диэлектрическая проницаемость вещества слоев 1 2 0, 2 5 0.

6.(Р) При сборке плоского конденсатора между обкладкой и диэлектриком

( r 4) образовался равномерный воздушный зазор. Расстояние между обкладками d 0,5 см, между обкладкой и диэлектриком d0 0,01 см. Рассчитайте, насколько изменилось его пробивное напряжение, если напряженность поля пробоя воздуха равна 30 кВ/см, а диэлектрика — 200 кВ/см.

7.Выведите формулу емкости плоского конденсатора с многослойным диэлектриком. Рассчитайте емкость трехслойного конденсатора при толщинах слоев

d1 2 ìì, d2 3 ìì, d3 2 мм, их диэлектрической проницаемости 1 2 0, 2 4 0,3 3 0, площади обкладок S 100 ñì2.

106 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

8. (Р) Радиусы обкладок n-слойного цилиндрического конденсатора Ri è Re, внешние радиусы слоев диэлектрика R1, R2, . . ., Rn Re. Получите соотношения, связывающие величины 1, 2, . . ., n è R1, R2, . . ., Rn–1, при выполнении которых наибольшие напряженности поля во всех слоях равны.

1.5. Магнитная индукция. Принцип непрерывности магнитного потока

	ВОПРОСЫ
	1. На рис. В1.19 изображено семейство линий магнит-
	ной индукции. В какой из точек (1, 2, 3, 4) магнитная
	индукция имеет наибольшее (наименьшее) значение?
	Укажите номера точек в порядке возрастания в них
	магнитной индукции.
	2. (О) Можно ли утверждать, что модуль вектора 1B |	Ðèñ. Â1.19
	магнитной индукции в любой точке линии магнитной
	индукции имеет одно и то же значение?

3.Как должен быть направлен вектор магнитной индукции однородного магнитного поля в точках поверхности, чтобы магнитный поток сквозь нее был наибольшим?

4.Виток из гибкой нити лежит в плоскости, нормальной к линиям магнитной

индукции. Сцепленный с ним поток равен !0. Как следует изменить форму витка, чтобы он, оставаясь в той же плоскости, охватил: à) наибольший поток; á) наименьший поток?

5.(О) В магнитном поле контура с током выбрана безграничная плоская поверхность, сквозь которую рассчитан магнитный поток. Чему равно его значение?

6.Поверхность опирается на контур с током. Зависит ли значение магнитного потока сквозь эту поверхность от формы поверхности?

7.(О) Постоянный магнит представляет собой стержень круглого сечения длиной l. Можно ли определить магнитный поток, проходящий внутри магнита че- рез его сечение, измеряя магнитный поток в окружающем пространстве?

8.Изменится ли значение магнитного потока ! Bds, если во всех точках по-

s

верхности s принятое направление нормали n изменить на противоположное?

9.В части пространства магнитный поток сквозь любую выбранную в ней замкнутую поверхность равен нулю. Означает ли это, что магнитная индукция во всех точках равна нулю?

10.(О) Соленоид помещен в неоднородное магнитное поле. Чему равен магнитный поток ! сквозь боковую поверхность соленоида, если опытным путем было

найдено, что в одну из его торцевых поверхностей входит магнитный поток !1, а из второй торцевой поверхности выходит магнитный поток !2?

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

107

УПРАЖНЕНИЯ

1.Одна из линий магнитной индукции — прямая. При движении вдоль нее магнитная индукция вначале возрастает, а затем уменьшается. Проведите соседние линии магнитной индукции.

2.(Р) Электрический ток течет по плоскому круговому тонкому витку. Найдите соотношение между магнитным потоком сквозь часть плоскости, ограниченную витком, и сквозь оставшуюся часть плоскости.

3.(Р) Магнитное поле создано токами +i, –i двух бесконечно длинных параллельных проводов, пересекающих нормальную к их осям плоскость в точках À è Â. Найдите соотношение между магнитными потоками сквозь поверхности, следами которых являются отрезок ÀÂ è ëó÷ ÂÑ. Ïðè ýòîì ëó÷ ÂÑ уходит в бесконечность, являясь продолжением отрезка ÀÂ.

4.Найдите значение магнитного потока, сцепленного с контуром (рис. В1.20), помещенным в однородное магнитное поле с индукцией B, нормальной к круговым участкам контуров радиусом R.

Ðèñ. Â1.20

5. (Р) В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,2i + 0,5j + 1k Тл выделена плоская поверхность площадью S 1 ì2, направление нормали в каждой точке которой есть n 1i + 1j + 1k. Рассчитайте магнитный поток сквозь поверхность.

1.6. Закон электромагнитной индукции

ВОПРОСЫ

1.В магнитном поле движется тело из диэлектрика. Поляризуется ли оно?

2.(О) Проводящее тело движется с постоянной скоростью в однородном магнитном поле в направлении, нормальном к линиям магнитной индукции. Индуцируется ли в нем ЭДС? Течет ли в нем ток проводимости?

3.(О) Проводящее тело движется в магнитном поле. При выполнении каких условий в теле будет протекать электрический ток?

4.(О) Изменится ли амплитуда синусоидального магнитного потока, сцепленного с находящимся во внешнем магнитном поле короткозамкнутым витком,

проводимость вещества которого , если его заменить витком той же формы, но имеющим проводимость 1 > ?

5. (О) Укажите направление ЭДС, индуцируемой во вращающемся с постоянной скоростью проводящем диске, ось вращения которого параллельна линиям магнитной индукции. Протекает ли в диске ток?

108 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

6.Проводящий цилиндр конечной длины вращается с постоянной скоростью в однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции B которого перпендикулярен оси вращения цилиндра. Укажите направления индуцируемых в цилиндре ЭДС.

7.(О) Внешний магнитный поток, сцепленный с замкнутым проводящим витком, изменяется по закону !â(t). При каком допущении ток в витке можно рас-

считать по формуле i(t) 1 d!â , ãäå r — сопротивление провода витка?

rdt

8.(О) Справедливо ли утверждение, что индуцируемая ЭДС всегда стремится создать такой ток, магнитное поле которого направлено в сторону, противоположную направлению магнитного потока, вызвавшего ЭДС?

9.Плоский проводящий виток расположен в однородном магнитном поле, нормальном плоскости витка. Индуцируется ли в витке ЭДС, если он: à) перемещается в своей плоскости, не изменяя формы; á) меняет свою форму от круглой до предельно вытянутой; â) перемещается в пространстве в произвольном направлении, не изменяя своей формы; ã) вращается вокруг своей оси?

10.Постоянный магнит движется с постоянной скоростью вдоль оси витка, вна- чале приближаясь к нему, а после пересечения его плоскости — удаляясь от него. Меняет ли знак индуцируемая в витке ЭДС? Изобразите кривую изменения индуцируемой в витке ЭДС.

11.(О) Проводящий виток перемещается в однородном магнитном поле в плоскости, нормальной линиям магнитной индукции, так что сцепленный с ним поток не изменяется. В соответствии с формулировкой закона электромагнитной индукции Максвелла ЭДС в витке равна нулю, тогда как в проводе витка в связи с пересечением им силовых линий, согласно формулировке Фарадея, ЭДС не равна нулю. Имеется ли противоречие в этом рассуждении?

УПРАЖНЕНИЯ

1.Постройте кривую изменения ЭДС, индуцируемой в контуре, если сцепленный с ним магнитный поток изменяется во времени по указанному на рис. В1.21 закону.

2.Постройте кривую изменения магнитного потока, охватываемого контуром, если индуцированная этим потоком ЭДС изменяется по указанному на рис. В1.22 закону.

3.(Р) Проводящая пластина, высота которой значительно больше ее толщины h, а длина значительно больше высоты, движется в среде с диэлектрической про-

ницаемостью 0 со скоростью v (рис. В1.23) в магнитном поле, линии индукции которого перпендикулярны вектору v. Найдите плотность электрических зарядов, возникающих на противоположных сторонах 1, 2 пластины.

4. (Р) Найдите ЭДС, индуцируемую между точками вращающегося со скоростью 0(t) проводящем диске радиусом R, ось вращения z которого параллельна линии магнитной индукции B однородного магнитного поля.

Примечание. Такое устройство является моделью униполярного генератора.

Ðèñ. Â1.23

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

109

Ðèñ. Â1.21

Ðèñ. Â1.22

5. (Р) Рассчитайте мощность в нагрузке униполярного генератора, к диску которого через прижимные щетки, расположенные при R1 0,6 ì è R2 0,1 м, подключен резистор R 10 Ом. Скорость вращения диска n 120 об/мин, магнитная индукция, направленная вдоль оси вращения, B 0,5 Тл, электрическое сопротивление проводящего диска между щетками R0 1 Îì.

ЗАДАЧИ

1. (P) Два весьма длинных провода круглого сечения с токами i1 Im sin 0t è i2 –Im sin 0t образуют двух-

проводную линию. Как следует расположить в пространстве и к каким точкам подсоединить контур, состоящий из двух проводов и вольтметра, для измерения падения напряжения на длине l линии?

110 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

2.В коаксиальном кабеле внутренняя жила является цилиндром круглого сече- ния, а внешняя трубчатая оболочка с обратным током — трубой со стенкой некоторой толщины. Изобразите на рисунке измерительный контур для измерения падения напряжения на длине l кабеля. Как следует расположить измерительный контур при измерении падения напряжения на длине l трубы?

3.(Р) В воздушном зазоре между ротором и гладким (беззубцовым) статором электрической машины нормальная к поверхности статора составляющая маг-

нитной индукции изменяется по его окружности по закону B Bm sin 23 ãäå 2 — угловая координата точки поверхности статора. Этот закон обеспечивается соответствующим распределением тока ротора. При вращении ротора с угловой скоростью 0 магнитное поле вращается вместе с ним. Радиус окружности статора R.

А. Рассчитайте ЭДС, индуцируемую: à) в прямом проводе длиной l, лежащем на поверхности статора; á) в контуре, образованном при последовательном соединении двух прямых проводов длиной l каждый, лежащих на поверхности статора на расстоянии R друг от друга, отсчитываемом по поверхности. ЭДС найдите, основываясь на двух формулировках закона электромагнитной индукции — Максвелла и Фарадея.

Б. При каком значении ЭДС в контуре имеет: à) наибольшую; á) наименьшую амплитуду?

В. Изменится ли ЭДС в проводе и в контуре, если их поместить не на поверхности, а в пазах статора, выполненного из ферромагнитного вещества?

1.7. Индуктивность и взаимная индуктивность

ВОПРОСЫ

1.Может ли индуктивность быть отрицательной?

2.(О) Равна ли индуктивность двух последовательно соединенных катушек сумме их индуктивностей?

3.(О) Зависит ли индуктивность расположенной в пустоте катушки от протекающего по ней тока?

4.(О) Как изменится (увеличится или уменьшится) индуктивность катушки, охватывающей ферромагнитный сердечник, при изменении его состояния от ненасыщенного (при малых токах катушки) до насыщенного (при больших токах катушки)?

5.(О) Катушка образована проводом, намотанным по винтовой линии на цилиндрическую поверхность. Изменится ли индуктивность катушки при уменьшении шага намотки (шага спирали) и сохранении длины провода?

6.Провод, образующий катушку с несколькими витками, растягивается и переходит в прямолинейный. Увеличилась или уменьшилась при этом индуктивность?

7.(О) Изменится ли индуктивность катушки, если в нее вставить сердечник из проводящего немагнитного вещества? Одинаков ли ответ при: à) постоянном; á) переменном токе катушки?

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

111

8.Зависит ли индуктивность проводящего витка, и если зависит, то как: à) от радиуса провода витка; á) радиуса витка; â) характера распределения электриче- ского тока по сечению провода?

9.(О) Каков характер зависимости индуктивности весьма длинного соленоида от его радиуса?

10.При каком расположении двух плоских контуров их взаимная индуктивность примет наибольшее значение?

11.(О) Индуктивности двух одинаковых контуров равны. Каково наибольшее значение их взаимной индуктивности?

12.Потоки самоиндукции двух контуров равны потоку взаимной индукции. Чему равна взаимная индуктивность?

13.Катушка намотана на медный каркас. Одинаковое ли значение имеет индуктивность катушки при протекании по ней: à) постоянного; á) переменного тока?

14.Три катушки индуктивно связаны друг с другом. Изменится ли взаимная ин-

дуктивность M12, если третью катушку удалить на весьма большое расстояние от двух других?

15.Под действием электромагнитной силы ферромагнитный сердечник втягивается в соленоид. Как при этом изменяется индуктивность соленоида?

УПРАЖНЕНИЯ

1.Расположите плоскую рамку, находящуюся в магнитном поле тока, протекающего по весьма длинному прямому проводу, так, чтобы взаимная индуктивность между проводом и рамкой оказалась равной нулю.

2.(Р) Для измерения индуктивности катушки в лабораторных условиях определяют амплитуды приложенного к ней напряжения Um è òîêà Im. Ток изменяется

по закону i Im sin 0t. На основе соотношения u L di/dt находят индуктивность L Um/0Im. Поскольку провод катушки обладает сопротивлением r, то погрешность определения индуктивности оказывается зависящей от r. Определите соотношение между величинами 0, L è r, при котором погрешность определения индуктивности не превысит допустимую äîï.

3.Расположите два плоских контура так, чтобы их взаимная индуктивность была равной нулю.

4.Расположите три плоских контура так, чтобы взаимная индуктивность любых двух контуров была равной нулю.

5.В одном из двух индуктивно связанных контуров ЭДС взаимной индукции изменяется в соответствии с указанными на рис. В1.22 кривыми. Изобразите кривые изменения тока другого контура.

6.(Р) Покажите, что понятие индуктивности на единицу длины весьма длинного бесконечно тонкого (R 0) прямого провода не имеет смысла.

7.Рассчитайте взаимную индуктивность весьма длинного тонкого прямого провода и плоской рамки, которая расположена в одной плоскости с проводом (рис. В1.24).

112 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

Ðèñ. Â1.24

8. Рассчитайте взаимную индуктивность на единицу длины двух 2-проводных линий при их различном взаимном расположении (рис. В1.25, провода 1-й линии 1, 1 , 2-é — 2, 2 ). Направление токов и расстояния между проводами линий указаны на рисунке.

Ðèñ. Â1.25

9. (Р) В начальный момент времени ток в идеально проводящем кольце равен нулю. Магнитная индукция внешнего однородного магнитного поля, нормальная к плоскости кольца, изменяется по закону B(t) (рис. В1.26). Изобразите кривую изменения тока i(t) в кольце.

Ðèñ. Â1.26

10. Характер изменения магнитного потока в ферромагнитном сердечнике электромагнитного реле и время достижения им установившегося постоянного значения можно изменить, охватив сердечник кольцом или гильзой из хорошо проводящего вещества. Быстрее или медленнее при этом будет возрастать магнитный поток при подключении обмотки реле к источнику постоянного напряжения? Изобразите кривые !1(t) è !2(t), соответствующие изменению потока в сердечнике, охваченном и не охваченном кольцом или гильзой.