Теоретические основы электротехники-1

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

113

11.(Р) Идеально проводящее кольцо с током, отключенное от источника, деформируется под действием внешних приложенных к нему сил. Почему при этом изменяется ток? Во сколько раз изменилась индуктивность кольца, если после деформации ток увеличился в 1,5 раза?

12.По двум отключенным от источника удаленным друг от друга тонким идеально проводящим виткам одинаковой формы течет ток i. Какое значение он будет иметь после совмещения витков, если взаимная индуктивность Ì > 0?

13.(Р) В плоском идеально проводящем витке индуктивностью L, отключенном от источника, течет ток i. Какое значение примет ток после внесения витка в однородное магнитное поле с индукцией B0, линии которой направлены к плоско-

сти кольца под углом ? Охватываемая витком площадь равна S.

14.Короткозамкнутая идеально проводящая обмотка с числом витков w, имеющая форму прямоугольной рамки, вращается вокруг своей оси в однородном

магнитном поле, линии индукции которого B0 перпендикулярны оси вращения. Ток обмотки равен нулю, когда плоскость рамки охватывает наибольший магнитный поток. Какова амплитуда тока в обмотке, если ее индуктивность L, а площадь, охватываемая рамкой, S?

15.(Р) В длинный короткозамкнутый идеально проводящий соленоид с током i вставляют сверхпроводящий длинный цилиндр. Каким будет ток соленоида, если внутренний радиус соленоида равен Ri, внешний радиус цилиндра равен Re?

1.8. Потенциальное и вихревое электрические поля

ВОПРОСЫ

1.По проводу течет постоянный ток. Суммарный заряд элемента провода равен нулю. Существует ли электрическое поле вне провода?

2.Разомкнутая на конце двухпроводная линия присоединена к источнику изменяющейся во времени ЭДС. При каких условиях электрическое поле вокруг проводов можно рассматривать как потенциальное?

3.По длинному проводу круглого сечения течет

постоянный ток. Напряжение измеряют между точками À, Â поверхности провода (рис. В1.27). Зависит ли показание вольтметра от расположения соединительных проводов à, b? Изменится ли ответ, если ток провода переменный?

	4. По проводу (рис. В1.27) течет переменный ток.	Ðèñ. Â1.27
	При каком из вариантов (1, 2, 3) расположения
	проводов à, b напряжение между точками À, Â
	имеет наименьшее значение?
	5. (О) Плоский проводящий замкнутый виток
	находится в переменном магнитном поле
	(ðèñ. Â1.28, à), вследствие чего по витку течет
	переменный ток. Будет ли в нем протекать ток,
	если весь провод витка экранировать от магнит-	Ðèñ. Â1.28

114 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

ного поля, заключив его в трубчатый ферромагнитный экран? На рис. В1.28, á показано сечение провода и заштрихованное сечение экрана.

6. (О) В находящемся в переменном магнитном поле проводящем теле индуцируется ЭДС и вследствие этого в нем протекает электрический ток. Может ли существовать потенциальная составляющая электрического поля в окружающем его диэлектрике? В проводящем теле?

УПРАЖНЕНИЯ

1. Весьма длинный ферромагнитный цилиндрический проводящий стержень радиусом R 0,5 см помещен в параллельное его оси однородное магнитное поле. Магнитная индукция в любой точке стержня изменяется по закону B 0,7 sin 103t (Тл). Определите напряженность вихревого электрического поля на поверхности стержня.

2. В результате разрыва витка вторичной обмотки трансформатора тока (W2 1) образовался воздушный промежуток 2 мм. Произойдет ли электрический пробой этого промежутка, если магнитный поток сердечника, охватываемого витком, ! 2 sin 2 50t (Âá)?

3. Плоская однослойная катушка с внутренним радиусом 2 см и внешним радиусом 6 см образована плотной укладкой 100 витков провода по спирали. Рассчи- тайте ЭДС, индуцируемую в катушке однородным перпендикулярным плоскости катушки магнитным полем с индукцией B 0,5 sin 2 103t (Òë).

1.9. Связь магнитного поля с электрическим током

ВОПРОСЫ

1.Воздушный конденсатор подключен к источнику переменного напряжения. Существуют ли в пространстве между обкладками конденсатора замкнутые линии магнитной индукции?

2.Провод с током i 2 А расположен в пустоте. Можно ли при интегрировании вектора магнитной индукции выбрать охватывающий провод замкнутый путь,

вдоль которого интеграл Bdl был бы равен –2 0; 3 0; 6 0; 1,2 0; –14 0; 2?

l

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Ток в контуре равен 3 А. Укажите путь интегрирования при расчете интегралаBdl, при котором его значение равно 3 0; 6 0; 9 0;

l

15 0; –6 0; 9 0.

2. Значение интеграла Bdl вдоль указанного пунк-

l

тиром на рис. В1.29 контура равно 7 0. Определите ток i3, åñëè i1 10 À, i2 5 A.

3. Весьма длинный тонкий прямой провод изогнут под углом 90° в точке À. Определите магнитную ин-

Ðèñ. Â1.29

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

115

дукцию в точках на оси провода, если провод расположен в пустоте и его ток равен i.

4.(P) Ток течет по расположенному в пустоте проводящему листу, толщина которого весьма мала. Лист расположен в плоскости x 0, так что называемый поверхностным ток листа течет в направлении оси z и имеет линейную плотность jk, ãäå k — единичный орт оси z. Какие составляющие содержит магнитная индукция? Найдите их в точках x > 0 è x < 0.

5.Используя метод наложения, решите предыдущую задачу для случая двух листов, лежащих в плоскостях x 0 è x d, по которым текут токи плотностью:

à) jzk è – jzk; á) jzk è jzk; â) jzk è jy j; ã) –jzk è jy j. Найдите B(x, y, z) в точках x < 0, 0 < x < d, x > d.

6. Весьма длинный соленоид радиусом R рассматриваем как бесконечно длинный. Плотность намотки витков составляет w w/l, ток соленоида i. Считаем витки обмотки плотно уложенными, а провод обмотки имеющим диаметр d << R. Определите магнитную индукцию внутри и вне соленоида. Постройте кривую B f(r) äëÿ 0 4 r < . В чем заключается особенность поведения функции B f(r) в точках r R?

7.Используя метод наложения, решите предыдущую задачу для случая двух

весьма длинных соосных соленоидов радиусами R1, R2 с токами: à) i1 – i2; á) i1 i2; â) i1 i2, плотность намотки у которых одинакова. Постройте кривые B f(r) äëÿ 0 < r < .

8.(Р) Весьма длинные прямолинейные провода распределены равномерно по окружности радиусом R, причем диаметр каждого из проводов, уложенных вплотную, d << R. Токи проводов равны i. Рассчитайте линейную плотность j эквивалентного поверхностного тока. Определите составляющие магнитной индукции и

постройте кривую B(r) äëÿ 0 4 r < . В чем заключается особенность поведения функции B(r) в точках r R? Магнитная проницаемость равна 0 всюду.

9. (P) В электрической машине с гладкими (беззубцовыми) немагнитными ротором и статором длинные прямолинейные провода, образующие обмотку статора, равномерно распределены по окружности радиусом R. Токи проводов таковы, что линейная плотность j поверхностного тока, распределенного по окружности, имеет вид j jm cos . Найдите зависимость B f(r) ïðè 0 äëÿ 0 4 r < и постройте ее.

10. Внутренняя оболочка (жила) коаксиального кабеля заменена весьма длинным прямолинейным (радиусом r 0) проводом с током +i, а внешняя оболоч- ка — охватывающим жилу соосным тонкостенным (толщина стенки d 0) цилиндром с током –i. Радиус цилиндра R. Найдите зависимость магнитной индукции B(r) от расстояния до оси кабеля. Постройте кривую зависимости B(r) и объясните особенность поведения функции B(r) ïðè r R. Магнитная проницаемость равна 0 всюду.

11. (Р) Катушка с числом витков w плотно намотана на тороидальный сердеч- ник прямоугольного сечения h(R2 – R1), магнитной проницаемостью . Через

116 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

окно тороида (рис. В1.30) проходит бесконечно длинный провод, совпадающий с осью тороида. Определите взаимную индуктивность между проводом и обмоткой тороида и проверьте выполнение равенства Ì12 Ì21, принимая, что магнитные силовые линии тока катушки замыкаются только в сердечнике. Численное значение получите для R2 8 ñì, R1 1 ñì, h 1 ñì, w 2000, 400 0.

Ðèñ. Â1.30

1.10. Намагниченность вещества и закон полного тока

ВОПРОСЫ

1. (О) Сплошной шар из ферромагнитного вещества, магнитная проницаемость которого равна , находится во внешнем однородном магнитном поле с индукцией B0. Какое из значений магнитной индукции больше: B0 èëè Bi внутри шара? Какое из значений напряженности магнитного поля больше: H0 B0/ 0 âíå èëè Hi внутри шара?

2.У одного из двух тел одинаковой формы магнитная восприимчивость больше. В каком из тел, помещенных в одинаковое магнитное поле, больше: à) магнитная индукция; á) намагниченность; â) напряженность магнитного поля?

3.В каком из двух проводов одинаковой формы и размеров с одинаковым постоянным током магнитная индукция и напряженность магнитного поля больше: в медном или ферромагнитном проводе?

4.Ферромагнитный тороидальный сердечник с током i обмотки имеет воздушный зазор, в который вставляют ферромагнитную пластину. Каким будет при этом характер изменения: à) магнитной индукции и напряженности магнитного поля в сердечнике; á) намагниченности сердечника?

5.(О) Вблизи витка с током расположено ферромагнитное тело. Одинаковые ли значения принимают интегралы Bdl, вычисляемые вдоль двух контуров, охва-

l

тывающих ток и отличающихся один от другого тем, что один из них пересекает тело, а другой — нет? Одинаковые ли значения имеют интегралы H dl, вычис-

l

ляемые вдоль этих контуров?

6.(О) Весьма длинный прямолинейный провод круглого сечения с током охва- чен соосным с ним ферромагнитным цилиндром с внешним радиусом R. Экранирует ли цилиндр в точках r > R магнитное поле провода? Изменятся ли - значения магнитной индукции и напряженности магнитного поля в точках внутри провода, между проводом и цилиндром, вне цилиндра после удаления цилиндра?

7.(О) Иногда используют допущение о том, что магнитная проницаемость вещества бесконечно велика. Что можно сказать о значении напряженности поля в таком идеализированном веществе?

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

117

8. В двух точках ферромагнитной среды магнитная индукция одинакова, но напряженность магнитного поля различна: H1 > H2. В какой из точек больше: à) намагниченность; á) магнитная проницаемость; â) магнитная восприимчивость? Изменятся ли ответы на эти вопросы, если среда является диамагнитной?

9. Почему уравнение H dl i, а не опытное соотношение Bdl 0 i рассматри-

l

l

вается как одно из основных уравнений электромагнитного поля?

10.Можно ли применить закон полного тока для описания магнитного поля в случае, когда электрический ток изменяется во времени?

11.Изменится ли значение интеграла H dl i, если направление интегрирова-

l

ния изменить на противоположное?

12. (О) Следует ли из закона полного тока, что при изменении во времени магнитного поля возникает связанное с ним электрическое поле?

B

13. Зависит ли МДС H dl FAB от выбора пути интегрирования между точка-

A

ìè À è Â, если любая пара из путей не охватывает электрический ток?

14. В каком направлении относительно линий напряженности магнитного поля МДС изменяется с наибольшей скоростью?

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Анизотропная ферромагнитная среда характеризуется во всех точках тен-

#100		0	0	&
зором относительной магнитной проницаемости ( r ) %	0	100	0	(. Рассчи-
%				(
% 0		0	10(

тайте: à) магнитную индукцию, если напряженность магнитного поля H i5 +3 + + j 2 103 + k 103 À/ì; á) напряженность магнитного поля, если магнитная индукция B i 0,9 + j 1,2 + k 0,1 Òë.

2.В некоторой точке изотропного ферромагнитного вещества относительная маг-

нитная проницаемость r 900 при напряженности магнитного поля H 10–3 А/м. Определите значения магнитной индукции, намагниченности, магнитной восприимчивости вещества в этой точке.

3.(Р) Цилиндрический ферромагнитный сердечник постоянного сечения вставлен в соленоид, расположенный в воздухе. Число витков соленоида на единицу длины w/l, åãî òîê i. Длины соленоида и сердечника бесконечны, однородно на-

магниченный сердечник характеризуется магнитной проницаемостью 6 Найдите намагниченность M и магнитную индукцию B в сердечнике. Какую часть сечения соленоида должна составлять площадь сечения сердечника, чтобы при его введении в соленоид индуктивность на единицу его длины увеличилась в n ðàç?

4. (Р) Однородно намагниченный цилиндрический стержень длиной l характеризуется намагниченностью M, направленной по оси стержня. Рассчитайте ток i

118 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

эквивалентного ему соленоида того же сечения, что и стержень, и расположенного в среде с магнитной проницаемостью 0

Примечание. Магнитное поле соленоида и намагниченного вещества эквивалентны, если создаваемые ими магнитные поля одинаковы во всех точках пространства.

5. (Р) Бесконечно длинный цилиндр радиусом R намагничен однородно в направлении, нормальном к оси z цилиндра. Рассчитайте линейную плотность j(2) расположенных в пустоте токов, распределенных по окружности цилиндра того же радиуса и создающих вне цилиндра такое же магнитное поле, как и намагни- ченный цилиндр, характеризуемый намагниченностью M jMy .

6.(P) Однородно намагниченный шар радиусом R характеризуется намагничен-

ностью M jMy . Рассчитайте линейную плотность j(2) расположенных в пустоте токов, распределенных по поверхности немагнитной сферы радиусом R и создающих вне сферы такое же магнитное поле, как и намагниченный шар.

7.На плоской безграничной поверхности тела, магнит-

ная проницаемость которого принята равной бесконеч- ности, лежит прямолинейный изолированный провод с током i (рис. В1.31). Изобразите семейство линий на-

пряженности магнитного поля. Чему равна МДС FÀÂ

вдоль пути, проходящего в воздухе? Постройте кри- Ðèñ. Â1.31 вую изменения МДС вдоль поверхности тела.

8. На рис. В1.32 указаны варианты расположения линейных токов i и поверхностных токов плотностью j(x) на плоской безграничной поверхности тела с проницаемостью . Постройте кривые изменения МДС вдоль оси x.

Ðèñ. Â1.32

9. Рассчитайте МДС между точками À, Ñ вдоль указанного на рис. В1.33 пути.

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

119

Ðèñ. Â1.33

	10. (Р) Постоянный ток i 100 А течет по плоской пла-
	стине толщиной 1 см в направлении оси z. Допуская,
	что длина и ширина h пластины значительно превы-
	шают ее толщину , найдите и постройте функции H(y),
	B(y) ïðè x 0, y << h. Магнитная проницаемость пла-	Ðèñ. Â1.34
	стины 200 0, h 20 ñì (ðèñ. Â1.34).
	11. По двум параллельным немагнитным ( 0) ïëà-
	стинам толщиной 1 5 ìì, 2 8 ìì (ðèñ. Â1.35) ñî-
	ответственно текут постоянные токи прямого i +100 À
	и обратного i –100 А направлений. Учитывая, что
	длина и ширина h 0,2 м каждой пластины значи-
	тельно больше их толщины, найдите и постройте кри-	Ðèñ. Â1.35

вую зависимости H(y) ïðè x 0. Постройте H(y) òàê-

же для случая, когда токи пластин имеют одинаковое направление. Зависит ли вид функции H(y) от расстояния между пластинами?

12. Постоянный ток i течет по весьма длинному прямолинейному проводу круглого сечения радиусом R. Определите напряженность магнитного поля и магнитную индукцию внутри и вне провода в точках на расстоянии r от его оси. Магнитная проницаемость вещества провода 100 +.

13.По весьма длинному прямолинейному трубчатому проводу с внутренним и

внешним радиусами, равными, соответственно, R1 6 ñì è R2 7 см, течет постоянный ток i 200 А. Постройте кривые зависимостей H(r), B(r), ãäå r — расстоя-

ние от точки до оси трубы, для значений 0 4 r 4 R2. Магнитная проницаемость вещества трубы равна 200 0.

14.Постоянный ток i 200 А прямого направления течет по весьма длинному прямолинейному проводу радиусом R 3 мм, а такой же ток противоположного направления — по такому же параллельному проводу. Расстояние между осями

проводов D 1 м. Постройте кривую зависимости H(x), ãäå x — координата, от- считываемая по прямой, соединяющей оси проводов и перпендикулярной им.

120 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

15. Постоянный ток I 100 А течет по весьма длинному прямолинейному проводу радиусом R 5 мм, а такой же ток противоположного направления — по соосной с ним трубе (рис. В1.36) с внутренним и внешним радиусами Ri 8 ìì, Re 10 мм. Магнитная проницаемость провода равна 100 0, вещества трубы — 200 0. Рассчитайте зависимости H(r), B(r) и постройте кривые их изменения для значений 0 4 r 4 Re (r — расстояние от точки до оси провода).

Ðèñ. Â1.36

Ðèñ. Â1.37

Ðèñ. Â1.38

16. (Р) На тороидальный сердечник круглого сечения (рис. В1.37) плотно уложена обмотка с числом витков w 200. Определите наибольшее и наименьшее значения напряженности магнитного поля и магнитной индукции внутри сердечника, если ток обмотки i 100 А, магнитная проницаемость вещества сердеч- ника 200 0, Ri 5 ñì, Re 8 ñì.

17. На тороидальный сердечник прямоугольного сечения (рис. В1.38) плотно уложена обмотка с числом витков w 200. Определите и постройте зависимость H(r) ïðè Ri 4 r 4 Re, принимая магнитную проницаемость вещества сердечника200 0, i 10 À, Ri 4 ñì, Re 5 ñì.

2.1. Энергия системы заряженных тел. Энергия контуров с токами

ВОПРОСЫ

1.При выводе формулы для расчета энергии системы заряженных тел принимается допущение об отсутствии необратимых процессов в диэлектрике. Какие необратимые процессы имеются в виду?

2.Предложите способ, которым можно преобразовать энергию электрического поля заряженного конденсатора в другой вид энергии.

3.(О) Разность потенциалов двух присоединенных к источнику ЭДС проводящих тел равна u. Изменяется ли энергия этой системы при сближении тел?

4.(О) Два одноименно заряженных тела приближаются друг к другу. Изменяется ли энергия этой системы?

5.Изменится ли энергия заряженного конденсатора, если в его электрическое поле внести незаряженное проводящее тело?

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

121

6. (О) Провода двухпроводной линии передачи покрываются слоем льда. Изменяется ли энергия электрического поля, а также емкость между проводами? Относительная диэлектрическая проницаемость льда r > 1 (u const).

7. Изменится ли энергия электрического поля конденсатора, если его бумажную изоляцию пропитать маслом, диэлектрическая проницаемость которого превышает 0?

8.Изменятся ли емкость и энергия электрического поля разрядника, представляющего собой присоединенные к источнику ЭДС две металлические сферы, при изменении сухой погоды на дождливую, в результате чего они покрываются тонким слоем воды?

9.(О) У какого заряженного шара энергия электрического поля больше: у проводящего или у шара с таким же зарядом, равномерно распределенным в объеме?

10.У поверхности какой из обкладок однослойного цилиндрического соосного конденсатора — внутренней или внешней — объемная плотность энергии электрического поля больше?

11.Изменится ли энергия магнитного поля двух контуров с токами, если изменить направление тока на противоположное: à) в одном из контуров; á) в обоих контурах?

12.Изменится ли энергия магнитного поля катушки, по которой течет постоянный ток, если внутрь нее внести ферромагнитный сердечник?

13.Два удаленных друг от друга плоских контура с токами сближаются. Каким должно быть их взаимное расположение после сближения, чтобы энергия магнитного поля была: à) равной сумме энергий уединенных контуров; á) больше суммы энергий уединенных контуров; â) меньше суммы энергий уединенных контуров?

14.Для улучшения механических свойств линий электропередач алюминиевые провода навивают на стальную сердцевину. Изменяются ли при этом индуктивность проводов и энергия магнитного поля?

15.(О) Почему большее распространение на практике нашли не емкостные, а индуктивные электромеханические машины, преобразующие механическую энергию в энергию магнитного, а не электрического поля?

УПРАЖНЕНИЯ

1.Напряженность электрического пробоя воздуха составляет 30 кВ/см. Рассчи- тайте предельную объемную плотность энергии электрического поля в воздухе.

2.Рассчитайте работу, которую необходимо выполнить для зарядки конденсатора емкостью 1 мкФ до напряжения 200 В.

3.Площадь каждой из обкладок плоского двухслойного конденсатора S 50 ñì2.

Диэлектрические проницаемости вещества слоев равны 4 0, 2 2 0, их толщины d1 2 ìì, d2 3 мм. Напряжение между обкладками равно u 200 В. Рас- считайте энергию электрического поля в слоях и полную энергию электрического поля конденсатора. В каком из слоев плотность энергии поля больше?

Ðèñ. Â2.1

122 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

4. Рассчитайте энергию электрического поля в каждом из слоев диэлектрика, полную энергию электрического поля Wý, объемную плотность энергии Wý (r) электрического поля: à) в двухслойном цилиндрическом; á) в двухслойном сферическом конденсаторах. Радиусы обкладок R1, R2, радиус поверхности, общей для обоих слоев диэлектрика, R, диэлектрические проницаемости слоев 1, 2, напряжение между обкладками u. Численные расчеты выполните для R1 2 ñì, R2 1 ñì, R 1,5 ñì, 1 4 0, 2 2 0, u 300 Â.

5. (Р) Рассчитайте энергию магнитного поля трех последовательно соединенных индуктивно связанных катушек с током 1 А, имеющих индуктивности L1 1,5 ìÃí, L2 2 ìÃí, L3 1 мГн и взаимные индуктивности M12 0,3 ìÃí, M13 0,2 ìÃí, M23 0,06 ìÃí.

6.Определите энергию магнитного поля катушек в условиях предыдущей зада- чи, если у второй катушки поменять местами зажимы.

7.Определите отношение плотности энергии электрического и магнитного полей в воздухе при B 1,5 Òë, E 30 êÂ/ñì.

8.Тороидальный сердечник катушки индуктивности

образован двумя кольцами прямоугольного сечения, разделенными воздушным зазором (рис. В2.1). Принимая линии магнитной индукции в сердечнике и в зазоре окружностями, рассчитайте отношение объемной плотности энергии магнитного поля в зазоре и прилегающих к нему точках сердечника ( ñ), а также

отношение энергии магнитного поля в сердечнике к энергии магнитного поля в зазоре.

9. (P) Пакет листов (толщиной d каждый) из магнитного материала, разделенных воздушными промежутками (рис. В2.2), помещен внача- ле в продольное (||), а затем в поперечное (7) магнитное поле, причем МДС сохраняется неизменной: Fab F| | Fac F7 (ab ac). Определите отношение средних для нескольких листов

значений			магнитной					индукции		B| | ñð	, ãäå
										B7ñð
		!| |			!
B			, B		7	, S		S	. Может ли значение
							| |
| | ñð		S| |	7ñð		S7			7

Ðèñ. Â2.2

B| | ñð быть меньше 1?

B7ñð

10. Немагнитная жила коаксиального кабеля имеет радиус R, а немагнитная оболочка — внутренний радиус Ri и внешний Re. Сопоставьте индуктивность на единицу длины кабеля в следующих случаях: à) ток распределен равномерно по сечению жилы и оболочки; á) ток течет в тонком поверхностном слое жилы и тонком слое внутренней поверхности оболочки.