- •Часть 1
- •Гл. 1. Алгебра матриц
- •Матрицы. Терминология
- •1.2 Принцип равенства
- •1.3 Транспонированная матрица
- •1.4 Сложение матриц
- •1.5 Умножение матрицы на число
- •1.6 Скалярное умножение арифметических векторов
- •1.7 Умножение матриц
- •1.8 Теория делимости квадратных матриц
- •1.9. Основные типы алгебраических структур.
- •1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные
- •1.11 Эквивалентные матрицы
- •1.12 Отношение эквивалентности.
- •1.13 Разложение матрицы в произведение простейших
- •1.14 Матричные уравнения
- •Упражнения
- •Историческая справка
- •Литература Основная литература.
- •Задачники и дополнительные методические материалы.
1.3 Транспонированная матрица
Пусть матрица имеет вид (1.1). Тогда матрица
называется матрицей транспонированной к матрице . Легко заметить, что, во-первых, матрицы и имеют одинаковые главные диагонали, а во-вторых, матрицу можно получить из матрицы поворотом последней вокруг её главной диагонали на угол, равный . В частности, если
, тогда ,
и, наоборот, если
, тогда .
Отметим следующие очевидные свойства операции транспонирования матриц:
1) 2)
Если , тогда матрица называется симметрической. Из свойства 1) следует, что симметрические матрицы всегда квадратные. Примером симметрической матрицы является матрица
.
1.4 Сложение матриц
Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера. Именно, пусть ,
Суммой матриц и называется матрица
(1.2)
О сложении матриц говорят также, что оно осуществляется поэлементно. Как уже отмечалось выше, в процессе изучения алгебры матриц мы будем пользоваться упрощенными обозначениями и т.д., не указывая всякий раз множества возможных значений индексов и , поскольку эти значения будут ясны из контекста. Например, следующее определение суммы матриц эквивалентно вышеприведенному определению.
Пусть и – действительные матрицы одного порядка, тогда
(1.3)
Знак читается “равно по определению”, а отсутствие дополнительных указаний на возможные значения индексов и объясняется тем, что все матрицы, входящие в равенство (1.3), имеют одинаковый размер при некоторых натуральных значениях и и, следовательно, .
Операция сложения матриц обладает рядом свойств, роднящих её с операцией сложения действительных чисел.
1) Операция сложения матриц коммутативна, т.е. для любых и из
◄ Пусть . Тогда
.
Здесь на первом и пятом шагах мы воспользовались обозначением суммы матриц, на втором и четвертом – определением суммы, а на третьем шаге – принципом равенства матриц. ►
2) Операция сложения матриц ассоциативна, т.е. для любых и из
.
3) Среди всех матриц множества существует единственная матрица , обладающая свойством
(1.4)
для любой матрицы из .
◄ Рассмотрим матрицу порядка , все элементы которой равны 0. Ясно, что .
для любой матрицы из . Тем самым показано существование матрицы , обладающей нужным свойством. Для доказательства её единственности покажем, что любая матрица из , удовлетворяющая равенству (1.4) для любых из , совпадает с матрицей . Действительно, если матрица такая, как сказано выше, то одновременно выполняются равенства
и .
Используя свойство коммутативности сложения матриц, получаем, что . ►
Матрица называется нуль-матрицей, а свойство 3) – свойством существования и единственности нуль-матрицы.
4) Для любой матрицы существует единственная матрица такая, что
(1.5)
◄ Пусть , тогда . Действительно,
.
Тем самым доказано существование матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5). Для доказательства её единственности предположим существование ещё одной матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5), т.е. равенству
(1.6)
Тогда
.
В то же время,
. ►
Матрица называется матрицей, противоположной матрице , и обозначается , а свойство 4) – свойством существования и единственности противоположной матрицы. С помощью противоположной матрицы вводится определение вычитания матриц, именно
.
5) Операции сложения и транспонирования матриц связаны формулой