1.8 Теория делимости квадратных матриц

Выше мы убедились, что арифметические операции над матрицами, прежде всего в части умножения, отличаются по своим свойствам от аналогичных операций над числами. Однако наиболее существенные отличия связаны с операцией деления.

Любое отличное от 0 действительное число имеет обратное число , т.е.

, (1.11)

и поэтому любое действительное число можно разделить на любое ненулевое число ,

Теорию делимости для матриц будем строить, исходя из соотношений (1.11).

Матрица называется обратимой, если существует такая матрица , что

. (1.12)

Если матрица обратима матрица называется её обратной матрицей и обозначается . Из равенства (1.12) следует, что все входящие в них матрицы квадратные и имеют одинаковый порядок . В связи с этим будем считать, что все матрицы, рассматриваемые в данном пункте, принадлежат множеству , а единичную матрицу будем обозначать для простоты . Множество всех квадратных обратимых действительных матриц порядка в дальнейшем будем обозначать через .

Свойства обратимых матриц.

1) Если , её обратная матрица единственна.

◄ Действительно, допустим, что наряду с равенствами (1.12) выполняются равенства

. (1.13)

где . Умножая обе части равенства на матрицу слева, по свойству ассоциативности умножения матриц получаем, что

.

С другой стороны,

, т.е. . ►

2) Если , тогда , и .

◄ Справедливость этого свойства вытекает из равенств (1.12). ►

3) Если , тогда , и

. (1.14)

◄ Действительно, применяя операцию транспонирования к равенствам (1.12) и учитывая при этом, что , получаем, что

или

.

Последнее равенство означает, что матрица обратима, и её обратная матрица имеет вид , т.е. выполнено равенство (1.14). ►

4) Если и , тогда матрица обратима и

. (1.15)

◄ Действительно, используя свойство 5) умножения матриц, получаем, что

,

.

Откуда следует обратимость матрицы и равенство (1.15). ►

5) Если , тогда и

(1.16)

◄ Докажем, например, обратимость матрицы ,

Откуда следует обратимость матрицы и первое равенство (1.16). Обратимость матрицы и второе равенство (1.16) доказывается аналогично. ►

6) Если , то во множестве всегда существует необратимые матрицы.

◄ Примером такой матрицы является матрица

.

Действительно, равенство не может выполняться ни для какой матрицы из , так как в произведении последняя строка всегда нулевая и поэтому

.►

Следующее утверждение по существу описывает все необратимые матрицы в .

Предложение 1.1. Если матрица является истинным делителем нуля, тогда она необратима.

◄ Пусть матрица и существует такая матрица , , что или . Тогда матрица не может быть обратимой. Действительно, если предположить существование такой матрицы , что

,

тогда умножая обе части равенства на матрицу справа (или обе части равенства на матрицу слева), получаем, что



и аналогично в случае . ►

Справедливо и обратное утверждение.

Предложение 1.2. Если матрица отлична от нуль-матрицы и не является истинным делителем нуля, тогда она обратима.

Доказательство этого утверждения будет приведено позже в «Лекции V».