- •Часть 1
- •Гл. 1. Алгебра матриц
- •Матрицы. Терминология
- •1.2 Принцип равенства
- •1.3 Транспонированная матрица
- •1.4 Сложение матриц
- •1.5 Умножение матрицы на число
- •1.6 Скалярное умножение арифметических векторов
- •1.7 Умножение матриц
- •1.8 Теория делимости квадратных матриц
- •1.9. Основные типы алгебраических структур.
- •1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные
- •1.11 Эквивалентные матрицы
- •1.12 Отношение эквивалентности.
- •1.13 Разложение матрицы в произведение простейших
- •1.14 Матричные уравнения
- •Упражнения
- •Историческая справка
- •Литература Основная литература.
- •Задачники и дополнительные методические материалы.
1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные
матрицы
Элементарные преобразования над матрицами бывают только трёх типов:
1) перемена местами двух строк или столбцов; обозначения – или соответственно;
2) умножение строки или столбца на число, отличное от нуля; обозначения – или соответственно, ;
3) добавление к какой-либо строке или столбцу другой строки или столбца, умноженных на произвольное число ; обозначения – или соответственно (элементарное преобразование этого типа называется трансвекцией).
В результате применения к матрице элементарного преобразования первого типа её строки и (или столбцы и ) поменяются местами; во втором случае строка (или столбец ) будет заменена на строку (или столбец ); в последнем случае строка (или столбец ) будет заменена на строку (или столбец ), а строка (столбец ) остается неизменной.
Свойства элементарных преобразований.
1) Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.
◄ Пусть в матрице нужно поменять местами, например, строки и . Следующая цепочка элементарных преобразований второго и третьего типов приводит к результату
. ►
2) Элементарные преобразования обратимы, а обратные им преобразования являются элементарными преобразованиями того же самого типа, т.е. если матрица получена из матрицы с помощью элементарного преобразования, тогда матрица может быть получена из матрицы с помощью элементарного преобразования того же самого типа.
◄ Используя для обозначения обратных элементарных преобразований символ ( )-1 непосредственной проверкой убеждаемся, что
,
,
. ►
3) Квадратная матрица называется элементарной, если она получена из единичной матрицы с помощью одного элементарного преобразования. Несмотря на то, что имеется шесть видов элементарных преобразований, три строчных и три столбцовых, видов элементарных матриц всего три, так как одна и та же элементарная матрица может быть получена как с помощью строчного так и с помощью столбцового элементарных преобразований.
◄ Действительно, элементарные преобразования и порождают одну и ту же элементарную матрицу
(1.17)
Элементарные преобразования и порождают одну и ту же элементарную матрицу
(1.18)
Наконец, элементарные преобразования и порождают одну и туже элементарную матрицу
►
4) элементарные матрицы обратимы, обратные им матрицы элементарны и порождаются элементарными преобразованиями, обратными исходным элементарным преобразованиям.
◄ Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что матрица вида (1.17) обратна самой себе, а матрицы
являются соответственно обратными матрицами матриц вида (1.18) и (1.19). ►
5) Пусть . Проведение в матрице одного строчного (столбцового) элементарного преобразования равносильно умножению этой матрицы слева (справа) на элементарную матрицу порядка (порядка ), отвечающую этому элементарному преобразованию.
◄ Ввиду свойства 1) элементарных преобразований в проверке нуждаются лишь элементарные преобразования второго и третьего типов. Предлагаем читателю показать самостоятельно, что умножение матрицы вида (1.1) на матрицы вида (1.18) и (1.19) слева равносильно проведению в матрице элементарных преобразований соответственно и , а умножение на матрицы указанного вида справа равносильно проведению в ней элементарных преобразований соответственно и . ►
Лекция IV.
План
1.11 Эквивалентные матрицы
1.12* Отношение эквивалентности