- •Математика
- •По специальностям 150411, 130502, 240404, 220301
- •Введение
- •Литература
- •Указание к выполнению и оформлению контрольных работ
- •Тема 1. Элементы теории множеств
- •Тема 2. Решение линейных систем уравнений методами
- •Тема 3. Элементы комбинаторики. [6], гл 5, п1-3
- •Примеры решений типовых заданий
- •1.2. Основные логические символы
- •1.3. Задание множеств
- •1.4. Операции над множествами
- •1.5 Произведение множеств
- •Маршруты, цепи, циклы. Длина маршрута.
- •Матрица инциденций вершин и ребер
- •Матрица смежности вершин
- •Тема: Комбинаторика
- •Тема 3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Тема 4. Дифференцирование
- •Примеры решения по теме 5: Интегральные исчисления
- •Тема 3. Действия с приближенными числами
Примеры решений типовых заданий
Элементы теории множеств. Множества и его элементы. Подмножества.
Определение:
Множество – это любая совокупность объектов, которые называются его элементами.
Если х- элемент множества М, то обозначают: х М { х – принадлежит М}, если не принадлежит, то х ∉ М; Множество не содержащее элементов называется пустым и обозначается ∅
Множество, в котором содержатся все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом и обозначается –
Ư. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными и обозначаются А = В.
Если любой элемент множества В является элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А (частью множества А) и обозначается В ⊂ А; Отсюда следует, что любое множество является частью самого себя.
По определению пустое множество ∅ является подмножеством любого множества. Т.о. у любого множества А есть два подмножества:
А и ∅.
Они называются несобственными подмножествами множества А. Любое множество В множества А, которое не является несобственными подмножествами А, (т.е. они отличны от А и ∅) и называются собственными подмножествами подмножества А. Множество из одного элемента а обозначается {а}.
Пример: А = {1;2;3} тогда пустое множество ∅ и само множество А является несобственными подмножествами А.
Множества:{1},{2},{3},{1;2},{1;3},{2;3} называются собственными подмножествами множества А. Совокупность всех множеств А называется его булеаном и обозначается – 2А; В А, означает, что В А, В ≠ А. В этом случае говорят, что В строго включено в А или В является собственным подмножеством А;
В случае В ⊆ А, В = А говорят, что В нестрогое включение в А, т.е. В является несобственным подмножеством А.
1.2. Основные логические символы
хР(х) – квантор общности (означает “для любого х выполняется
Р (х)”.)
хР(х) – квантор существования (означает “существует х, для которого выполняется Р (х)”.)
Р ⇒ Q – импликация (“из Р следует Q ”)
⟺ - эквивалентность (“тогда и только тогда”)
Р ∧ Q – конъюнкция ( “Р и Q”)
Р ∨ Q – дизъюнкция (“Р или Q”)
Не Р или - отрицание Р
: = - символы присвоения (“положим”)
def – (“положим по определению”)
Используя эти символы можно записать:
1) (А = В) ⟺((х ∈ А ⇒ х ∈ В) ∧ ( х ∈ В ⇒ х ∈ А)
2) (А ⊆ В) ⟺ ( х/х ∈А ⇒ х ∈ В)
3) ( А = В) ⟺ ( В ⊂ А ∧ А⊂ В)
∩
1.3. Задание множеств
Перечислением элементов: М: = { а1; а2; а3; …; аn }
или характеристическим свойством Р(х)
(предикатом): М: = { х | Р(х) }
Например:
1) В = { х ∈ N | х < 3} означает, что В= { 1; 2}
2) А ={ х ∈ N | х +1=5} означает, что А = {4}
3) В = { х ∈ N | х 5} или {5;10;15…}
т.е. { х | Р(х) }означает, что множество элементов х множества обладает свойством Р(х)
4) М = { х ∈ N | х 3< 5}={1;2;3;4;5;6;7}
1.4. Операции над множествами
Рассматриваются следующие операции над множествами:
10. Объединение множеств А и В.
U
А ∪ В = { х/х ∈ А или х ∈ В} – т.е. состоит из элементов, принадлежащих хотя б одному из множеств А или В.
20. Пересечение множеств А и В.
A∩B = {x/x ∈ A и x ∈ B} – т.е. состоят из элементов, принадлежащих одновременно А и В.
3º. Разность множеств А и В.
U
A/B = {x/x ∈ A и x ∉ B} – т.е. состоит из элементов А, не принадлежащих В.
4º. Симметрическая разность А и В (или кольцевая сумма А и В)
А Ө B = {x/x ∈ A и x ∉ B} ∪ {x/x ∈ В и x ∉ А} или {А\В ∪ В\А}
5º. Дополнение А до универсума
= U\A = {x|x ∈ Uux и x ∉ А}