- •7. Временные ряды
- •7.1. Структура и особенности временных рядов
- •7.2. Предварительный анализ исходных вр
- •7.2.1. Выявление и устранение аномальных наблюдений
- •7.2.2. Методы выявления тренда во вр
- •7.2.3. Методы сглаживания вр
- •7.2.4. Оценка автокорреляции во вр
- •Данные для расчета автокорреляции
- •7.3. Формирование набора моделей прогнозирования
- •7.3.1. Методология экономического прогнозирования
- •7.3.2. Кривые роста и их выбор
- •1. Полиноминальные кривые роста
- •Экспоненциальные кривые роста
- •Выбор вида кривой роста
- •7.4. Численное оценивание параметров моделей
- •Исходные данные задачи
- •Расчетная таблица задачи
- •7.5. Проверка качества моделей
- •7.5.1. Адекватность модели
- •Интервальные оценки критерия Дарбина-Уотсона
- •7.5.2. Точность модели
- •7.6. Построение точечного и интервального прогнозов
- •7.7. Пример расчета вр и прогноза по этому ряду
- •Исходные данные вр
- •Расчетные данные для вр
- •7.8 Адаптивное прогнозирование
- •Расчет скорректированных значений a0(t) и a1(t)
- •Прогнозные оценки по модели Брауна
7.6. Построение точечного и интервального прогнозов
Е
(7.8)
.
Для учёта случайных колебаний при прогнозировании рассчитываются доверительные интервалы (интервальный прогноз), зависящие от стандартной ошибки (7.6), горизонта прогнозирования k, длины временного ряда n и уровня значимости прогноза α. В частности, для прогноза (7.8) будущие значения yn+k с вероятностью (1 – α) попадут в интервал
(7.9)
7.7. Пример расчета вр и прогноза по этому ряду
Рассмотрим разработку трендовой модели и получение прогнозных оценок динамики изменения параметра на основе временного ряда, представленного в таблице 7.8.
Таблица 7.8
Исходные данные вр
t |
Параметр |
1 |
238 |
2 |
249 |
3 |
287 |
4 |
340 |
5 |
342 |
6 |
373 |
7 |
360 |
8 |
380 |
9 |
403 |
10 |
419,08 |
11 |
451 |
12 |
460 |
13 |
379,8 |
14 |
410,7 |
Простой анализ данных таблицы 7.8 позволяет сделать вывод о том, что значение параметр yt монотонно возрастает, т.е. имеется положительный тренд, близкий к линейному, т.к. первый средний прирост примерно одинаков (таблица 7.4). Кроме того среди значений параметра yt нет аномальных. Все вышеизложенное позволяет сразу перейти к выбору модели ВР. Выбираем в качестве кривой роста линейную модели вида:
и определяем неизвестные значения коэффициентов а0 и а1 по методу наименьших квадратов (§ 7.4).
(7.10)
Последовательно подставляя в (7.10) вместо фактора t его значения от 1 до n=14, заполним остальные графы расчётных уровней таблицы 7.9.
Таблица 7.9
Расчетные данные для вр
t
|
yt |
|
|
|
|
Точ. пов |
|
|
|
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
1 |
238,00 |
-6,5 |
42,25 |
-125,76 |
817,44 |
270,68 |
-32,68 |
- |
1067,98 |
- |
- |
- |
|
2 |
249,00 |
-5,5 |
30,25 |
-114,76 |
631,18 |
285,00 |
-36,00 |
1 |
1296,00 |
-3,32 |
11,02 |
1176,48 |
|
3 |
287,00 |
-4,5 |
20,25 |
-76,76 |
345,42 |
299,32 |
-12,32 |
0 |
151,78 |
23,68 |
560,74 |
443,52 |
|
4 |
340,00 |
-3,5 |
12,25 |
-23,76 |
83,16 |
313,64 |
26,36 |
1 |
694,85 |
38,68 |
1496,14 |
-324,76 |
|
5 |
342,00 |
-2,5 |
6,25 |
-21,76 |
54,4 |
327,96 |
14,04 |
1 |
197,12 |
-12,32 |
151,78 |
370,09 |
|
6 |
373,00 |
-1,5 |
2,25 |
9,24 |
-13,86 |
342,28 |
30,72 |
1 |
943,72 |
16,68 |
278,22 |
431,31 |
|
7 |
360,00 |
-0,5 |
0,25 |
-3,76 |
1,88 |
356,60 |
3,40 |
1 |
11,56 |
-27,32 |
74638 |
104,45 |
|
8 |
380,00 |
0,5 |
0,25 |
16,24 |
8,12 |
370,92 |
9,08 |
0 |
82,45 |
5,68 |
32,26 |
30,87 |
|
9 |
403,00 |
1,5 |
2,25 |
39,24 |
58,86 |
385,24 |
17,76 |
0 |
315,42 |
8,68 |
75,34 |
161,26 |
|
10 |
419,10 |
2,5 |
6,25 |
55,34 |
138,35 |
399,56 |
19,54 |
0 |
381,81 |
1,78 |
3,16 |
347,03 |
|
11 |
451,00 |
3,5 |
12,25 |
87,24 |
305,34 |
413,88 |
37,12 |
1 |
1377,89 |
17,58 |
309,05 |
725,32 |
|
12 |
460,00 |
4,5 |
20,25 |
96,24 |
433,08 |
428,20 |
31,80 |
0 |
1011,24 |
-5,32 |
28,30 |
1180,42 |
|
13 |
379,80 |
5,5 |
30,25 |
16,04 |
88,22 |
442,52 |
-62,72 |
1 |
3933,80 |
-94,52 |
8934,03 |
-1994,50 |
|
14 |
410,70 |
6,5 |
42,25 |
46,94 |
305,1 1 |
456,84 |
-46,14 |
- |
2128,90 |
• 16,58 |
274,89 |
2893,90 |
|
Σ |
105 |
5092,6 |
0 |
227,50 |
-0,04 |
3256,70 |
5092,64 |
-0,04 |
7 |
13594,52 |
- |
12901,31 |
5545,40 |
ср. |
7,5 |
363,76 |
Для проверки адекватности модели в соответствии с видом формул (7.1), (7.4) и (7.4а) организуем и заполним графы 9 – 13, и строим график (рис. 7.3).
Рис. 7.3. Экспериментальный и теоретический ряды
1. Легко убедиться, что математическое ожидание ряда остатков равно нулю, т.е. || = 0, что следует из суммы 8-ого столбца (-0,04).
2. Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает положительный результат, т.к. р = 7 (9 столбец таблицы 7.9), а критическое число поворотных точек, рассчитанное по формуле (7.3) равно 5. Таким образом, выполняется условие 7>5.
3. При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d = 0,95, вычисленное по формуле (7.4), при уровне значимости α = 0,025 попадает в интервал между d1 = 0,920 и d2 = 1,060, т.е. в область неопределенности. Поэтому придется воспользоваться формулой (7.4а): r1 = 0,41. Сопоставляя это число с табличным значением первого коэффициента автокорреляции 0,485, взятым для уровня значимости α = 0,01 и n = 14, увидим, что расчетное значение меньше табличного. Это означает, что с ошибкой в 1% ряд остатков можно считать некоррелированным, т.е. свойство взаимной независимости уровней остаточной компоненты подтверждается.
4. Соответствие ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы (7.5). Вычислим вариационный размах εmax – εmax = 99,84 и среднеквадратическое отклонение δε = 32,34. По этим данным рассчитаем критерий R/S=3,09. Для n = 14 и α = 0,05 найдем критическим интервал: [2,92; 4,05]. Вычисленное значение 3,09 попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения выполняется, и можно строить доверительный интервал прогноза.
5. Так как модель оказалась адекватной, оценим ее точность. По формуле (7.7) рассчитаем среднюю относительную ошибку: Еотн = 7,7%. Такую ошибку можно считать приемлемой, 7,7<15.
6. Экстраполяция уравнения = 256,36 + 14,32t на шаг вперед, т.е. на момент времени n + 1 = 15, дает прогнозное значение параметра, равное = 471,12.
7. Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал (7.9). Примем значение уровня значимости α = 0,3, а значит, доверительную вероятность – 70 %. В этом случае критерий Стьюдента (при v = n – 2 = 12) равен tα,v= 1,083. Вычислив среднеквадратическую ошибку тренда (7.6), с учетом значения tα,v получим интервальный прогноз (см. рис. 7.3):
где
Таким образом, построенная нами модель является полностью адекватной динамике параметра и достаточно надежной для краткосрочных прогнозов. Поэтому с вероятностью 0,7 (70%) можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития значения параметра yt, прогнозируемое на t=15 с помощью линейной модели роста, попадет в промежуток, образованный нижней и верхней границей доверительного интервала (429,25; 512,99).