7.2. Предварительный анализ исходных вр

7.2.1. Выявление и устранение аномальных наблюдений

Одна из главных задач предварительного анализа заключается в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда. Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня ВР, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик ВР, в том числе на соответствующую трендовую модель.

Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки технического порядка (ошибки первого рода), которые подлежат выявлению и устранению, и ошибки из-за факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически (ошибки второго рода), которые устранению не подлежат.

Основным методом для выявления аномальных уровней ВР является метод Ирвина.

1. Рассчитывают значения λ_t

где – среднее квадратическое отклонение;

– среднее значение (математическое ожидание).

2. Расчетные значения λ₂ , λ₃ и т.д. сравнивают с табличными значениями критерия Ирвина λ_α , и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение y_t уровня ряда считается аномальным.

– аномально,

– нормально.

В том случае, когда значение числа уровней n находится в промежутке указанном в таблице, приближенное значение λ_α находят графически.

Пример 7.1. Найти приближенное значение λ_α для n=7.

Число n=7 заключено между табличными значениями n=3 и n=10. Графически показываем на плоскости λ_αО_n точки с координатами (n=3, λ_α=2,3) и (n=10, λ_α=1,5) и соединяем их прямой (рис. 7.1).

n

Рис. 7.1. Приближенное определение значения λ_α

Из оси абсцисс О_n восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с прямой. Откуда получаем, что λ_α 1,9.

Значение критерия Ирвина при уровне значимости α=0,05 (5%-я ошибка) приведены в таблице

Таблица 7.1

Нормированные значения критерия Ирвина (α=0,05)

n	2	3	10	20	30	50	100
λα	2,8	2,3	1,5	1,3	1,2	1,1	1,0

3. Устанавливают причины появления аномальных уровней ряда. Если они вызваны ошибками первого ряда, то они устраняются либо заменой аномальных уровней средней арифметической двух соседних уровней ряда, либо заменой аномальных уровней соответствующими значениями по кривой, аппроксимирующей данный ВР.

7.2.2. Методы выявления тренда во вр

Основными методами для определения тренда являются:

Метод проверки разностей средних уровней, который реализуется поэтапно.

а) ВР y₁, y₂, ..., y_n разбивается на две примерно равные по числу уровней части n₁ и n₂ (n₁+n₂=n);

б) для каждой части вычисляются средние значения и , и дисперсии D₁=σ₁², D₂=σ₂² (см. метод Ирвина);

в) проверяется равенство (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F – критерия Фишера

Расчетное значение критерия F сравнивается с табличным (критическим) значением F_α с заданным уровнем значимости (уровнем ошибки) α. В качестве α чаще всего берут значения α=0,1 (10%-я ошибка) , α=0,05 и α=0,01. Величина (1–α) называется доверительной вероятностью.

Если расчетное значение F < F_α, то гипотеза об однородности дисперсий принимается и переходят к следующему этапу. Если F F_α , то гипотеза об однородности дисперсий отклоняется, т.е. данный метод для определения наличия тренда ответа не дает;

г) проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия:

,

где – среднее квадратическое отклонение разности средних.

Если t < t_α с заданным уровнем значимости α, то гипотеза принимается (тренда нет), где t_α – табличное значение, которое берется для числа степеней свободы, равного n₁+n₂–2. Если t > t_α, то тренд есть. Метод применим для рядов с монотонной тенденцией.

Метод Фостера-Стьюарта обладает большими возможностями и дает более надежные результаты, которые позволяют установить наличие тренда не только для средних значений, но и для тренда дисперсии (если дисперсия увеличивается, то ряд «раскачивается»).

а) производится сравнение каждого уровня исходного ВР, начиная с y₂ , со всеми предыдущими и определяются две числовые последовательности:

, если y_t больше всех предыдущих уровней;

, в противном случае.

, если y_t меньше всех предыдущих уровней;

, в противном случае,

где t = 2,3,…,n;

б) вычисляются величины s и d:

;

.

Если s = 0, то уровни ряда равны между собой, а если s=n–1, то ряд монотонный. Величина d характеризует изменение дисперсии при крайних значениях d=- (n–1) – ряд монотонно убывает; d=n–1 – ряд монотонно возрастает.

в) проверяются гипотезы: можно ли считать случайными:

1. отклонение величины s от величины μ – математического ожидания величины s для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

2. отклонение величины d от нуля.

Проверка проводится по t-критерию Стьюдента для средней и для дисперсии:

;

;

где σ₁, σ₂ – среднеквадратические отклонения для величин s и d соответственно.

Значения μ, σ₁, σ₂ иногда табулируются. В таблице представлен фрагмент табулированных значений величин μ, σ₁, σ₂.

Таблица 7.2

Табулированные значения μ, σ₁, σ₂

n	10	20	30	40
μ	3,858	5,195	5,990	6,557
σ1	1,288	1,677	1,882	2,019
σ2	1,964	2,279	2,447	2,561

г) сравниваются расчетные значения t_s и t_d с табличными t_α с заданным уровнем значимости; если t_s<t_α и t_d<t_α , то тренды в среднем и у дисперсии отсутствуют; если t_s>t_α и t_d<t_α , то имеется тренд в среднем, а тренда у дисперсии ряда – нет и т.д.; t-критерий Стьюдента выбирается из условия α и (n–1).