7.4. Численное оценивание параметров моделей

Параметры полиноминальных кривых оцениваются чаще всего методом наименьших квадратов, который требует, чтобы сумма квадратов отношений фактических уровней ряда от соответствующих выровненных на кривой роста значений была наименьшей.

Для полинома первой степени

система нормальных уравнений имеет вид

где знак суммирования распространяется на все моменты наблюдения (все уровни) исходного ВР.

Для полинома второй степени

Пример. 7.3. Методом наименьших квадратов подобрать для заданных значений x и y (таблица 7.5) полином второй степени.

Таблица 7.5

Исходные данные задачи

№ п/п=k	1	2	3	4	5	6	7
t	7	8	9	10	11	12	13
yk	7,4	8,4	9,1	9,4	9,5	9,5	9,4

Составим расчетную таблицу (таблица 7.6) для системы уравнений.

Таблица 7.6

Расчетная таблица задачи

№ п/п=k	tk	tk^2	tk^3	tk^4	yk	tk ּ yk	tk^2 ּ yk
1	7	49	343	2401	7,4	51,8	362,6
2	8	64	512	4196	8,4	67,2	537,6
3	9	81	729	6561	9,1	81,9	737,1
4	10	100	1000	10000	9,4	94,0	940,0
5	11	121	1331	14641	9,5	104,5	1149,5
6	12	144	1728	20736	9,5	114,0	1368,0
7	13	169	2197	28561	9,4	122,2	1588,6
∑	70	728	7840	87096	62,7	635,6	6683,4

Получаем систему уравнений:

Решая систему, получаем a₀ = 2,12; a₁ = 1,10; a₂ = - 0,04.

Тогда

Для нахождения параметров экспоненциальных и S-образных кривых их сначала логарифмируют, чтобы получить линейное выражение относительно логарифмов, а затем используют метод наименьших квадратов.

При определении параметров кривых роста, имеющих асимптоты, различают два случая. Если значение асимптоты известно заранее, то перенося значение параметра к и логарифмируя, получают полином относительно логарифмов, а затем используют метод наименьших квадратов.

Если значение асимптоты неизвестно, то используют приближённые методы: метод трёх точек, метод трёх сумм и т.д.