7.5. Проверка качества моделей

7.5.1. Адекватность модели

Для проверки адекватности модели исследуют ряд остатков

,

т.е. отклонений расчетных значений от фактических . Если трендовая модель выбрана правильно, то для остатков ха­рактерно: равенство нулю математического ожидания; случай­ный характер отклонений от математического ожидания; отсут­ствие автокорреляции и неизменность дисперсии остатков во времени; нормальный закон распределения. Рассмотрим пере­численные требования подробнее.

1. Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Вычисляется расчетное t_p значение этого критерия:

(7.1)

где – среднее арифметическое значение уровней ряда остатков;

– среднеквадратическое отклонение для последовательности ε_t.

(7.2)

Расчетное значение критерия t_p сравнивается с табличным t_α,ν. На уровне значимости α гипотеза отклоняется, если t_p>t_α,ν, где t_α,ν – критерий распределения Стьюдента с довери­тельной вероятностью (1 – α) и ν = n - 1 степенями свободы.

2. Для проверки условия случайности возникновений отдельных отклонений от тренда часто используется критерий пиков, основанный на поворотных точках. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно боль­ше соседних с ним элементов или, наоборот, меньше значений предыдущего и последующего за ним элементов.

В случай­ной выборке среднее арифметическое числа поворотных точек равна = 2 / 3 (n – 2),

а их дисперсия вычисляется по формуле:

.

Учитывая эти соот­ношения, критерий случайности отклонений от тренда при уров­не вероятности 0,95 можно представить, как

(7.3)

,

где р – фактическое количество поворотных точек в случайном ряду, а квадратные скобки означают, что от результата вычисле­ния следует взять только целую часть, отбросив дробную, какой бы она не была.

Если неравенство не соблюдается, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту), и стало быть, модель не является адекватной.

3. Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста проще всего проверить с помощью критерия Дарбина-Уотсона. С этой целью строится (d критерий) Дарбина-Уотсона, в основе которого лежит расчетная формула

(7.4)

Теоретическое основание применения этого критерия обус­ловлено тем, что в динамических рядах как сами наблюдения, так и отклонения от них распределяются в хронологическом порядке.

При отсутствии автокорреляции значение d примерно рав­но 2, а при полной автокорреляции — 0 или 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d₂) и нижние (d₁) критические значе­ния, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсут­ствии автокорреляции, зависят от количества уровней временного ряда и числа независимых переменных модели. Значе­ния этих границ для уровня значимости α = 0,05 даны в таблице 7.7, где k – число независимых переменных.

Таблица 7.7