33. Формула Байеса. Независимые испытания. Схема Бернулли. Формула Бернулли.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Байеса.

Имеется полная группа несовместных гипотез H₁, H₂, ……, H_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно P(H₁), P(H₂), ……, P(H_n). Произведен опыт, в результате которого выявлено появление некоторого события A. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти условную вероятность P(H_i| A) для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

P(AH_i) = P(A) P(H_i| A) = P(H_i) P(A | H_i) (i = 1, 2,…, n),

или, отбрасывая левую часть,

P(A) P(H_i| A) = P(H_i) P(A | H_i) (i = 1, 2,…, n),

откуда

(i = 1, 2,…, n).

Выражая P(A) с помощью формулы полной вероятности () имеем:

(i = 1, 2,…, n).

Эта формула носит название формулы Байеса или теоремы гипотез.

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Под схемой Бернулли понимают конечную серию n повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают , а непоявления (неудачи) его P(H) = q = 1 – p. Я. Бернулли установил, что вероятность ровно m успехов в серии из n повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле:

То значение , при котором число является максимальным из множества {}, называется наивероятнейшим, и оно удовлетворяет условию

.

Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из k событий с вероятностью (i=1, 2,…,k). Вероятность появления раз первого события и - второго и - k-го находится по формуле

.

При достаточно большой серии испытаний формула Бернулли становится трудно применимой, и в этих случаях используют приближенные формулы. Одну из них можно получить из предельной теоремы Пуассона:

, где .

34. Предельные теоремы в схеме Бернулли.

Устойчивость средних результатов из общей массы явлений обусловили появление «закона больших чисел», понимаемого в том смысле, что при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью вероятности.

Свойство случайных величин при определенных условиях вести себя практически как не случайные позволяет уверенно оперировать с этими величинами, предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью.

Возможности таких предсказаний в области массовых случайных явлений еще больше расширяются наличием наряду с группой предельных, касающихся предельных значений случайных величин, еще и группы предельных законов распределения.

Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятностей.

Неравенство Чебышева.

Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием и дисперсией . Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху величиной :

(1).

Закон больших чисел (теорема Чебышева).

Теорема. Если дисперсии независимых случайных величин ограничены одной и той же постоянной C, такой что (i = 1, 2, 3, …, n), то, каково бы ни было > 0, вероятность выполнения неравенства , где , будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин n достаточно велико, т.е.

(2).

Из теоремы Чебышева (частный случай) следует теорема, называемая теоремой Бернулли, являющейся простейшей формой закона больших чисел.

Теорема Бернулли.

Пусть m – число наступлений события A в n независимых испытаниях и p есть вероятность наступления события A в каждом из испытаний. Тогда, каково бы ни было положительное число ,

(3)

Доказательство. Обозначим через случайную величину, равную числу наступлений события A в k-м испытании, где k = 1, 2, 3, …, n. Тогда, согласно определению интегральной функции распределения, имеем

, ,

Все условия частного случая теоремы Чебышева выполнены.

Практический смысл теоремы Бернулли следующий: при постоянстве вероятности случайного события A во всех испытаниях, при неограниченном возрастании числа испытаний можно с вероятностью, как угодно близкой к единице, утверждать, что наблюдаемая относительная частота случайного события будет как угодно мало отклоняться от его вероятности.

Центральная предельная теорема.

Рассмотрим одну из наиболее общих форм центральной предельной теоремы:

Определение. Закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, близок к нормальному закону распределения.

Определение. Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется нормальным, если ее дифференциальная функция определяется формулой

(4)