35. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто бывает, что закон распределения случайной величины неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают по ее числовым характеристикам. Одной из таких характеристик является математическое ожидание.

Пусть некоторая дискретная случайная величина X с конечным числом своих значений задана законом распределения:

X			…
p			…

Определение. Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины X называют сумму произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:

(1)

Теорема. Математическое ожидание дискретной случайной величины X приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).

Доказательство. Предположим, что произведено n испытаний, в которых дискретная случайная величина X приняла значения соответственно раз, так что . Тогда среднее арифметическое всех значений, принятых величиной X, выразится равенством

или .

Так как коэффициент является относительной частотой события «величина X приняла значение » (i = 1, 2, …, k), то .

Из статистического определения вероятности следует, что при достаточно большом числе испытаний (i = 1, 2, …, k).

Поэтому или .

Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1. Математическое ожидание постоянной величины C равно этой величине.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин X и Y равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y) = M(X) + M(Y).

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY) = M(X) M(Y).

5. Математическое ожидание разности – двух случайных величин X и Y равно разности их математических ожиданий: M(X–Y) = M(X) – M(Y).

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Z = X + 2Y, если известны математические ожидания случайных величин X и Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

Используя свойства 3 и 2 математического ожидания, получаем:

.

36. Дисперсия дискретной случайной величины.

Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. В частности математическое ожидание не дает возможность оценить «рассеяние» случайной величины.

Пусть задана дискретная случайная величина X:

X			…
p			…

Определение. Отклонением случайной величины X от ее математического ожидания M(X) (или просто отклонением случайной величины X) называют случайную величину X – M(X). Видно, что для того, чтобы отклонение случайной величины X приняло значение , достаточно, чтобы случайная величина X приняла значение . Вероятность же этого события равна ; следовательно, и вероятность того, что отклонение случайной величины X примет значение , также равна . Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения случайной величины X. Используя это, запишем закон распределения отклонения случайной величины X:

X – M(X)			…
P			…

Теорема. Математическое ожидание отклонения X – M(X) равно нулю:

Из теоремы видно, что с помощью отклонения не удается определить среднее отклонение возможных значений величины X от ее математического ожидания, т.е. степень рассеяния величины X. Однако можно освободиться от этого недостатка, если рассматривать квадрат отклонения случайной величины X.

Запишем закон распределения случайной величины :

			…
p			…

Определение. Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания:

(1)

Из закона распределения величины следует, что

Свойства дисперсии дискретной случайной величины.

1. Дисперсия дискретной случайной величины X равна разности между математическим ожиданием квадрата величины X и квадратом ее математического ожидания:

(2)

2. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

(3)

4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

(4)

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

(5)