- •Множества
- •Понятие множества
- •1.2. Отношения между множествами
- •1.3. Операции над множествами
- •Упражнения
- •2.1. Запись решений уравнений, неравенств, систем
- •2.2. Число элементов объединения множеств. Правило суммы
- •2.3. Прямое произведение множеств. Правило произведения
- •2.4. Число k-элементных подмножеств конечного множества. Перестановки и сочетания без повторений
- •Контрольные вопросы и устные упражнения
- •Упражнения
- •Высказывания и операции над ними
- •Контрольные вопросы и устные упражнения
- •Упражнения
- •Равносильные преобразования формул алгебры логики.
- •Контрольные вопросы и устные упражнения
- •Упражнения
- •Кванторы общности и существования
- •Упражнения
- •Применение предикатов.
- •6.1. Отношение следования и равносильности
- •6.2. Определение математических понятий
- •6.3. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы Необходимые и достаточные условия
- •6.4. Доказательство от противного
- •Понятие бинарного отношения. Операции над бинарными отношениями.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Определители
Упражнения
5.1. Укажите несколько значений переменных, при которых следующие предикаты истинны, ложны:
1. х 2 , х N; 9. = - x, x R;
2. х < 1 , x N ; 10. > 0 ,
3. x > 6 x 3 , xZ; 11. sin x = -, x R;
4. x+ 3x +6 = 0 , x R; 12. cos x = , x R;
5. = 0, xR; 13. x y , x,y R;
6. | x - 5 | < 2, 14. x + y < 3, x,y N;
7. | 2x + 3 | 2x + 3, x R; 15. x ( y - 1 ) = 0, x,yR;
8. = x, x R; 16. x+ y=4, x, y R.
5.2. Найдите область истинности предикатов упражнения 5.1. Случаи 13 - 16 изобразите на координатной плоскости.
5.3. Найдите область истинности предикатов:
1. = 0; 7. | 3x - 2 | > 8;
2. = ; 8. | 5x - 3 | < 7;
3. - > ; 9. 2 - | x | = 1,7;
4. ; 10. | 3x - 1 | = 3x - 1;
5. < 0 ; 11. | 3x - 1 | = 1 - 3x;
6. > 0; 12. | 2x + 4 | 2x + 4.
5.4. Найдите область истинности предикатов :
1. ( < x + 1,5 ) ( 2x - 8 > 3 - 0,5 x);
2. ( - 4 < - 1) (x + 2 ( 2x- 1) < 3( x +1);
3.(-+2x<3x-3) (- 3(1-x)+2x<);
4.(- + x < 2x - 4 )( + 3 (x - 1)< );
5.(( x+3 ) ( x - 1) < 0 ) ( x+ 4x + 6 > x ( x - 5 );
6.((x- 6x + 9 )(2x - 10) < 0) ( 6 + x ( 7 - x ) < x+2x(5-x);
7.( 1 + ) ( - 1 < 5x - 5)
8.( - > 2) ( - 3x - 1 > 2) ;
9.( + 6x > + 4 ) ( - > - );
10.( 0,2 ( 2x - 3 ) < x - 2 ) ( 5x - 7 > x - 6 ).
5.5. Найдите область истинности предикатов:
1. sin x = ; 2. cos x = -;
3. tg x = 1; 4. ctg x = - 1;
5. 4 - cosx = 4 sin x 6. 5 - 2 cos x=5sin
5.6. Определите тождественную истинность и тождественную ложность предикатов:
1. x+ x = 2 , x N ; 2. x+ 1 = 0 , x R ;
3. 1+cos x=2 cos; xR; 4. 1- cos x=2 sin, x R;
5. ( x+ x ) 2 , xZ; 6.(x 2) ( x = 2y +1), x,y Z
7. (x2) (x=2y +1), x,yZ; 8.(x 2) ( x = 2y +1), x,y Z;
9. (x 9)(x3), x,y Z.
5.7. Найдите значение следующих высказываний:
1. ( x N ) (x 1) ; 2. ( x N ) x 1
3. ( x Z ) ( x+ x = 2); 4. ( x Z) (x+ x = 2 );
5. ( x Z ) ( (x > 10) (x 3));
6. ( x Z ) (( x 3 ) ( x > 10);
7. ( x,y Z ) ( x + y = 3 );
8. ( x,y Z ) ( x + y = 3 );
9. ( x,y R ) ( x < y x< y);
10. ( x,y R) ( x < y x< y).
З А Н Я Т И Е № 6.
Применение предикатов.
6.1. Отношение следования и равносильности
Определение. Пусть Р(х) и Q(х) - высказывательные формы (предикаты). Говорят, что из Р(х) следует Q(х) и пишут Р(х) Q(х), если область истинности Р(х) содержится в области истинности Q(х)
( DP DQ ).
П р и м е р. P(x): x > 1; Q(x): x > 0,5.
Тогда DP = (1 ;+), DQ = (0,5 ; +), DP DQ, и, следовательно, P(x) Q(x), но Q(x) P(x).
Также можно сказать, что из Р(х) следует Q(х), если для любого х, при котором Р(х) истинно, Q(х) - истинно.
Определение. Две высказывательные формы Р(х) и Q(х) называются равносильными (Р(х) Q(х)), если P(x) Q(x) и Q(x) P(x).
Способы получения равносильных уравнений.
1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, имеющее смысл в области определения уравнения (ОДЗ), то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
2. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
3. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же выражение, имеющее смысл и не обращающееся в нуль в ОДЗ, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
4. Любое слагаемое ( или множитель) в одной из частей уравнения можно заменить на ему тождественно равное (равный) в ОДЗ.
Аналогичны способы получения равносильных неравенств
(1,2 и 4, сформулируйте их), но есть и отличие:
3’. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же выражение А(х), имеющее смысл, сохраняющее знак и не обращающееся в нуль в ОДЗ неравенства, то при А(х) > 0 получится неравенство, равносильное данному, а при А(х) < 0 равносильным данному является неравенство противоположного знака.