Определители

Теоретические вопросы :

1. Определитель квадратной матрицы порядка n (определение)

2. Запишите формулу для вычисления определителя 2-ого и 3-го порядка.

3. Основные свойства определителя.

4. Достаточные условия равенства нулю определителя

5. Миноры и их алгебраические дополнения.

6. Способы вычисления определителей.

П р и м е р.

16.1. Вычислите определители :

1. 2. 3.

4. 5.

16.2. Выясните, какие из приведенных ниже произведений

входят в определители соответствующих порядков

и с какими знаками :

а) а₄₃ а₂₁ а₃₅ а₁₂ а₅₄

б) а₆₁ а₂₃ а₃₆ а₁₂ а₅₄

в) а₂₇ а₃₆ а₅₁ а₇₄ а₂₅ а₄₃ а₆₂

16.3. Выберите значения i и k так, чтобы произведение

а₆₂ а_i5 а₃₃ а_к4 а₄₆ а₂₁ входило в определитель 6 - го порядка со знаком минус.

16.4. а) Выпишите все слагаемые входящие в определитель 5 - го порядка и имеющие вид а₁₄ а₂₃ а_{3 L3} а_4L4 а₅₅

б) Выпишите все слагаемые входящие в определитель 4 - го порядка со знаком минус и содержащие множитель а₂₃ .

16.5. Вычислите определители 3 - го порядка .

1. 2. 3.

4. 5.

16.6. Разложите определитель по элементам 3 - го столбца.

Упр 7. Вычислите определители методом приведения к

треугольному виду :

а) б)

Упр 8. Вычислите определители :

1. 2.

3. 4.

5. 6.

Упр 9. Дан определитель Д =

а) Запишите разложение определителя по второй строке.

б) Составьте определитель Д₁ , заменив 3 - й столбец

определителя Д линейной комбинацией 1 - го и 2 - го

столбца с коэффициентами ₁ = -1, ₂ = 3

в) Вычислите определитель Д, получив предварительно

нули в какой-либо строке или столбце. Верно ли, что

Д₁ = Д?

г) Поменяйте местами 1-й и 2-й столбца определителя Д.

Вычислите полученный определитель.

Дополнительные задания :

1. Докажите, что делится на 275.

2. Решите уравнения :

а) = 0 б) = abc

Домашнее задание

1. Вычислите определители :

1). 2).

3). 4).

2. Вычислите определители 3 - го порядка :

1. 2.

3. С какими знаками входят данные произведения в определители соответствующих порядков:

1. а₁₃ а₂₂ а₃₁

2. а₁₂ а₂₃ а₃₄ а₄₅ а₅₆ а₆₇ а₇₈ а₈₁ ?

4. Входят ли в определитель 5-го порядка произведения:

1. а₁₃ а₂₄ а₂₃ а₄₁ а₅₅

2. а₂₁ а₁₃ а₃₄ а₅₅ а₄₂ ?

Дополнительные задания:

1. Используя утверждения |А  В| = |А|  |В|, докажите:

1) Если матрица А - невырожденная, то |А^-1| = |А|^-1

2) Пусть матрица В - обратима. Докажите, что

|В^-1 А В| = |А|

2. Решите относительно  уравнение

| А -  Е| = 0 , где

1). А = 2). А =

З А Н Я Т И Е № 17.

Обратная матрица. Решение систем линейных

уравнений матричным способом. Решение сис-

тем линейных уравнений по формулам Крамера.

Теоретические вопросы :

1. Определение невырожденной матрицы.

2. Практический способ нахождения обратной

матрицы.

3. Сформулируйте правило Крамера.

Упр 1. Найдите обратные матрицы для следующих матриц :

1. 2. А =

Упр 2. Решите матричные уравнения :

1.  Х =

2. Х  =

3.  Х  =

Упр 3. Решите системы уравнений по правилу Крамера :

1. 2х₁ + 2х₂ - х₃ + х₄ = 4

4х₁ + 3х₂ - х₃ + 2х₄ = 6

8х₁ + 5х₂ - 3х₃ + 4х₄ = 12

3х₁ + 3х₂ - 2х₃ + 2х₄ = 6

2. 2х₁ + 3х₂ + 11х₃ + 5х₄ = 2

х₁ + х₂ + 5х₃ + 2х₄ = 1

2х₁ + х₂ + 3х₃ + 2х₄ = -3

х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ = -3

Упр 4. Найдите обратную матрицу с помощью определителя :

1. А = 2. А =

Домашнее задание :

1. Решите систему уравнений тремя способами :

х₁ + 2х₂ - 2х₃ + х₄ = 0

2х₁ + х₂ + х₃ + 3х₄ = 8

3х₁ - х₂ - 2х₃ - х₄ = - 3

2х₁ - 3х₂ + х₃ + 2х₄ = 3

2. Дана система линейных уравнений.

х₁ + 2х₂ - х₃ - 2х₄ = 8

х₁ + 3х₂ - 4х₄ = 7

2х₁ + 5х₂ + 2х₃ - 4х₄ = 11

х₁ + 2х₂ + 2х₃ +3х₄ = 7

а) Докажите, что система определенная

б) Неизвестное х₂ найдите по формулам Крамера.

3. Найдите обратную матрицу с помощью определителей

А =

Дополнительное задание :

1. Решите систему уравнений :

- + = 8

- + = 0

- + = 8

2. Пусть А  В ^-1 = В^-1  А . Докажите, что А  В = В  А

3. А  В = В  А  А^-1  В^-1 = В^-1  А^-1

4. Если А² + А + Е = 0, то А - невырожденная

5. Пусть А^m = 0 .Докажите, что (Е-А)^-1=Е+А+... +А^m-1)

,

6. Проверьте формулу (S^-1АS)^m = S^-1 А^m S, m 2 .

7. В = S^-1 АS, f ( t ) - многочлен. Докажите, что

f ( В ) = S^-1 f ( А )  S

Вариант 1 Алгебра, 1-ый семестр 1.Найдите ранг матрицы 2. Найдите четность подстановки 3. Исследовать и решить систему уравнений: а) б)

Вариант 2 Алгебра, 1-ый семестр 1.Найдите ранг матрицы 2. Найдите четность подстановки 3. Исследовать и решить систему уравнений: а) б)

76