2.1. Запись решений уравнений, неравенств, систем
и совокупностей с помощью множеств
Напомним, что решением уравнения (неравенства), содержащего неизвестное, называется число, при подстановке которого в это уравнение (неравенство) вместо неизвестного, получается верный результат. Решить уравнение (неравенство) это значит найти множества всех его решений.
Два или более уравнений или неравенств, соединённых союзом “и” называют системой. Решением системы считается число, которое является решением каждого из предложений
(уравнений или неравенств). Таким образом, множество решений системы является пересечением множеств решений каждого из предложений.
Два или более уравнений или неравенств, соединённых союзом “или” называют совокупностью. Решением совокупности считается число, которое является решением хотя бы одного уравнения или неравенства совокупности. Таким образом множество решений совокупности является объединением множеств решений предложений, образующих совокупность
2.2. Число элементов объединения множеств. Правило суммы
При решении практических задач часто приходится выбирать из некоторого множества его подмножества, распределять элементы множества в том или ином порядке и т.д. Так как в этих задачах речь идёт о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами. Раздел математики, в котором изучаются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.
ЗАДАЧА. На тарелке лежат 6 яблок и 5 груш. Сколькими способами можно выбрать один плод?
РЕШЕНИЕ. Так как в задаче идёт речь о выборе “яблока или груши”, то его можно осуществить 6 + 5 = 11 способами.
Справедливо следующее утверждение:
Правило суммы. Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b - n способами, причём любой выбор элемента а отличен от любого выбора элемента b, то выбор “а или b” можно сделать m + n способами.
Это же правило на языке теории множеств формулируется так:
Теорема.
Если пересечение конечных множеств А
и В пусто, А
В =
,
то число элементов в их объединении
равно сумме чисел элементов А и В:
А
В =
n(A
B)
= n(A)
+ n(B).
Множества могут иметь и непустое пересечение. Для двух множеств ситуацию характеризует
Теорема. Для любых конечных множеств А и В верно равенство:
n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B). (1)
Доказательство, Множество А В есть объединение трёх не
n(A) - n(A B) + n(A B) + n(B) - - n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)
Формула (1) есть частный случай для двух множеств и её можно распространить на любое конечное число элементов. Например, для трёх множеств А, В и С: n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) - - n(A B) - n(A C) - n(B C) + n(A B C).
Обоснуйте этот факт на кругах Эйлера !