Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Теоретические вопросы:

1. Какая система уравнений называется совместной, несовместной, определенной, неопределенной?

2. Что является решением системы линейных уравнений?

3. В каком случае мы говорим, что две системы уравнений равносильны?

4. Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

5. Способы записи системы линейных уравнений.

6. В чем заключается суть метода Гаусса?

П р и м е р. Решим методом Гаусса систему уравнений

(1).

Для этого выпишем ее основную | расширенную матрицу порядка 46 и приведем ее элементарными преобразованиями к ступенчатому виду:

На данном этапе имеем следующую систему линейных уравнений, равносильную первоначальной (1):.

Выделим в качестве свободных переменных х₄ и х₅, через них можно выразить зависимые переменные: х₁, х₂, х_{3 .} Далее, согласно методу Гаусса, надо выразить зависимые переменные через свободные. Однако, этот процесс проделать в матричной форме удобнее следующим образом: следуя снизу вверх элементарными преобразованиями получим слева единичную матрицу.

. Это позволяет записать соответствующую матрице систему уравнений и сразу выразить зависимые переменные через свободные, перенося члены с ними в правую часть:

.

Таким образом, найдено общее решение системы (1). Его можно записать в виде кортежа: (-5/2 + 25/2х₄ + 12х₅, 3 – 12х₄ – 11х₅, ½ - 3/2х₄ – 2х₅, х₄, х₅) .

Или, например, частные решения: (22, -20, -3, 1,1) или (10, -9, -1, 1, 0). Убедитесь в этом, выполнив проверку.

13.1. Задана одна из форм записи системы линейных уравнений. Запишите остальные формы записи системы линейных уравнений, если

1. 2 х + у + 3z = 13

х + у + z = 0

3 х + у + z = 8

2. 

3. + + + =

13.2. Сколько решений имеет система, имеющая ступенчатую матрицу вида:

1. 2.

3. 4.

13.3. Решите системы линейных уравнений методом Гаусса, найдите общее решение и два частных.

1. -х+ 3х + 3х + 2х+ 5х = 2

-3х+ 5х+ 2х+ 3х+ 4х = 2

-3х+ х - 5х - 7х = - 2

-5х+ 7х + х + 16х + х= 1

2. 2х- х + х + 2х + 3х = 2

6х- 3х+2х+4х + 5х = 3

6х- 3х+4х+8х +13х= 9

4х- 2х + х + х + 2х = 5

3. 2х+ 3х + 5х+ 2х = 5

3х+ 4х+ 2х + 3х =-2

х+ 2х+ 8х - х = 8

7х+9х+ х + 8х = 0

4. 3х+ 4х + х + 2х= 3

6х+ 8х +2х+ 5х= 7

9х+12х+3х +10х=13

5. 3х+ 5х+ 7х+ х = 0

х+ 3х+ 5х+ 7х= 12

5х+ 7х+ х + 3х= 4

7х+ х + 3х+ 5х= 16

6. 3х- 2х- 5х + х = 3

2х- 3х +х + 5х= -3

х+ 2х₂ - 4х₄ = -3

х_{1 -} х₂ - 4х₃ + 9х₄ = 22

7. 2х₁ + 7х₂ + 3х₃ + х₄ = 6

3х₁ + 5х₂ + 2х₃ + 2х₄ = 4

9х₁ + 4х₂ + х₃ + 7х₄ = 2

8. х₁ + х₂ + 2х₃ + 3х₄ = 1

3х₁- х₂ - х₃ - 2х₄ = - 4

2х₁ + 3х₂ -х₃ - х₄ =- 6

х₁ + 2х₂ + 3х₃ -х₄ = -4

9. 2х₁ + х₂ - х₃ +х₄ = 1

3х₁ - 2х₂ + 2х₃ - 3х₄ = 2

5х₁ + х₂ - х₃ + 2х₄ = -1

2х₁ - х₂ + х₃ - 3х₄ = 4

10. 6х₁ + 3х₂ + 2х₃ + 3х₄ + 4х₅ = 5

4х₁ +2х₂ +х₃ + 2х₄ +3х₅ = 4

4х₁ +2х₂ + 3х₃ + 2х₄ +х₅ = 0

2х₁ + х₂ +7х₃ + 3х₄ + 2х₅ = 1

13.4. Исследуйте систему и решите ее в зависимости от

значений параметра.

1. 3х₁ + 2х₂ + 5х₃ + 4х₄ = 3

2х₁ + 3х₂ + 6х₃ + 8х₄ = 5

х₁ - 6х₂ - 9х₃ - 20х₄ = - 11

4х₁ + х₂ + 4х₃ + 2х₄ = 2

2. х₁ + ах₂ - х₃ = - 2

ах₁ + х₂ + х₃ = 2

2х₁ + 2х₂ - х₃ = - 1

3. х₁ + х₂ + ах₃ = 1

х₁ + ах₂ + х₃ = 1

ах₁ + х₂ + х₃ = 1

4. х₁ + х₂ + х₃ + ах₄ = 1

х₁ + х₂ + ах₃ + х₄ = 1

х₁ + ах₂ + х₃ + х₄ = 1

ах₁ + х₂ +х₃ + х₄ = 1

5. 8х₁ + 6х₂ + 3х₃ + 2х₄ = 5

-12х₁ - 3х₂ - 3х₃ + 3х₄ = - 6

4х₁ + 5х₂ + 2х₃ + 3х₄ = 3

2х₁ + 4х₂ + х₃ + 4х₄ = 2

6. 2х₁ + 5х₂ +х₃ + 3х₄ = 2

4х₁ + 6х₂ + 3х₃ + 5х₄ = 4

4х₁ + 14х₂ + х₃ + 7х₄ = 4

2х₁ - 3х₂ + 3х₃ + 2х₄ = 7

З А Н Я Т И Е № 14.

Линейная зависимость и независимость системы

векторов. Базис и ранг системы векторов.

Теоретические вопросы;

1. Определение линейно зависимой , линейно независи-

мой системы векторов.

2. Что означает линейная зависимость в случае, когда сис-

тема состоит из одного вектора? Из двух векторов?

3. Какая система векторов называется ступенчатой? Из не-

скольких векторов может состоять ступенчатая система?

Почему? Ступенчатая система векторов линейна независима ?

4. Определение базиса конечной системы векторов.

5. Ранг конечной системы векторов (определение).

6. Из скольких векторов может состоять базис системы

векторов в .

7. На сколько единиц ранг основной матрицы может отли-

чаться от ранга расширенной матрицы?

Упр № 1. а) Докажите, что если подсистема системы век-

торов линейно зависима, то система линейно зависима.

б) Сформулируйте обратную противоположной

теореме для г).

в) Если упороченная система векторов линейно

независима, то удлиненная линейно независима.

г) Докажите, что если строки основной матрицы

линейно независимы, то система уравнений совместна

при любом столбце свободных членов.

Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Домашнее задание: Докажите, что система содержа -

шая а) нулевой вектор линейно зависима.

б) два коллинеарных вектора линейно зависимы

в) два равных вектора линейно зависима.

Почему условия а, б, в только достаточны для линей-

но независимости ?

Упр № 2. Выясните, являются ли следующие системы векторов

линейно зависимыми или линейно независимыми.

а) ₁ = (1, 2, -1), ₂ =(0, 1, 1),₃ =(1, 3, 1), ₄=(1,4,1)

б) ₁=(2, 1, -1, 1), ₂=(-1, 0, 1, 1), ₃=(-3, 0, -1, 5),

₄ = (-1, 4, -3,3)

в) ₁ = (2, 2, -1, 1), ₂ = (1, -1, 1, 1), ₃ = (-1, 2, 3, 1)

= (1, 0, 5, 3)

Упр № 3. Выясните, при каких значениях параметра а век-

торы ₁, ₂, ₃, ₄ будут линейно зависимы, а при

каких значениях оин будут линейно независимы, если

₁ = (1,1, 1,1),₂=(а, 1,а, 1), ₃ =(а,а, 2, 2), ₄=(1,2,1-а,3)

Упр № 4. Найдите все значения , при которых вектор

линейно выражается через векторы ₁, ₂,... ₃ ; т.е

 L(₁ , ₂, ₃)

а) ₁ = (2, 3, 5), ₂ = (3, 7, 8), ₃ = (1, -6, 1), = (7, -2,)

б) ₁ = (3, 2, 5), ₂ = (2, 4, 7), ₃ = (5, 6,  ), = (1, 3, 5)

Упр № 5. Пусть система вектор , , линейно незави-

сима. Докажите, что системы .

а) +, + , +

б) + , + + , линейно независимы.

Упр № 6. Найдите базис и ранг системы векторов и осталь-

ные векторы выразите через этот базис:

а) ₁ = (5, 8, 7), ₂ = (2, 3, 4), ₃ = (1, 2, -1),₄ = (4, 7,2)

б) ₁ = (5, 2, -3, 1), ₂ = (4, 1, -2,3), ₃ = (1,1,-1,-2 ),

₄= (3, 4 ,-1,2)

Упр № 7. Найдите все базисы системы векторов:

а) ₁ = (1, 2, 0, 0), ₂ = (1, 2, 3, 4), ₃ = (3, 6, 0, 0)

б) ₁ = (1, 2, 3, 4), ₂ = (2, 3, 4, 5), ₃ = (3, 4, 5, 6),

₄ = (4, 5 , 6, 7)

Домашнее задание:

1. Исследуйте на линейную зависимость систему векторов:

₁ = (2 , 1,11,2), ₂ = (1, 0,4, -1),₃ = (1, 4, 56, 5)

₄ = (2,-1, 5, -6 ), ₅ = (-1, 0, -4, -7). Выражается ли вектор ₅ через вектора ₁, ₂ , ₄ .

2. . Найдите какой нибудь базис ситемы векторов и выра-

зите остальные векторы через этот базис.

₁ = (2 , 1,-3 ,1), ₂ = (4, 2,-6,2), ₃ = (6, 3,-6, 3)

₄ = (1,1,1, 1),

3. Найдите все базисы системы векторов :

₁ = (1, 2, 3), ₂ = (2, 3, 4),₃ = (3, 2, 3)

₄ = (4, 3, 4), ₅ = (1, 1, 1)

4. Выражается ли вектор = (2, 1, 2) через векторы

₁ = (1, 2, 1), ₂ = (1, -2, -3), ₃ = (-1, 2, 3)

5. Докажите , что векторы ₁ , ₂ , _{3, 4} образуют

базис R⁴ , Найдите координаты вектора в этом

базисе :

₁ = (1, 2,-1, 0), ₂ = (1,-1 1,1),₃ = (-1, 2, 1, 1)

₄ = (1,-1 , 0, 1), = (0, 7, -1, 0)

З А Н Я Т И Е № 15.

Критерий совместности системы линейных

уравнений.

Теоретические вопросы ;

1. Определение ранга матрицы.

2. Критерий совместности системы линейных уравнений

3. Критерий определенности системы линейных уравне-

ний , критерий неопределенности.

4. Почему однородная система линейных уравнений

всегда совместна.

15.1. Чему равен ранг матрицы при различных значениях  ?

а) А = б) А =

15.2. Исследовать совместность и найти общее решение и

одно частное решение ситемы уравнений.

1. 2х₁ + 2х₂ + 4х₃ - х₄ + 3х₅ = 2

х₁ +х₂ +3х₃ - 2х₄ +3х₅ = 1

3х₁ +3х₂ + 5х₃ - 2х₄ +3х₅ = 1

2х₁ + 2х₂ +8х₃ - 3х₄ +9х₅ = 2

2. 2х₁ - х₂ + х₃ + 2х₄ + 3х₅ = 2

6х₁ - 3х₂ +2х₃ + 4х₄ +5х₅ = 3

6х₁ - 3х₂ + 4х₃ + 8х₄ +13х₅ = 9

4х₁ - 2х₂ +х₃ + х₄ +2х₅ = 1

3. 2х₁ + 5х₂ - 8х₃ = 8

4х₁ + 3х₂ - 9х₃ = 9

2х₁ + 3х₂ - 5х₃ = 7

х₁ + 8х₂ - 7х₃ = 12

4. х₁ + 2х₂ + 3х₃ - 2х₄ + х₅ = 4

3х₁ + 6х₂ +5х₃ - 4х₄ +3х₅ = 3

х₁ + 2х₂ + 7х₃ - 4х₄ +х₅ = 11

2х₁ + 4х₂ +2х₃ - 3х₄ +3х₅ = 6

15.3. Найдите общее решение для систем уравнений.

1. х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ = 0

2. . х₁ + 2х₂ + 4х₃ - 3х₄ = 0

3х₁ + 5х₂ +6х₃ - 4х₄ = 0

4х₁ + 5х₂ - 2х₃ + 3х₄ = 0

3х₁ + 8х₂ +24х₃ - 19х₄ = 0

3. 3х₁ + 5х₂ + 2х₃ = 0

4х₁ + 7х₂ + 5х₃ = 0

х₁ + х₂ - 4х₃ = 0

2х₁ + 9х₂ + 6х₃ = 0

4. 5х₁ + 6х₂ - 2х₃ + 7х₄ + 4х₅ = 0

2х₁ + 3х₂ -х₃ + 4х₄ +2х₅ = 0

7х₁ + 9х₂ - 3х₃ + 5х₄ +6х₅ = 0

5х₁ + 9х₂ - 3х₃ + х₄ +6х₅ = 0

15.5. Исследуйте систему и найдите общее решение в

зависимости от значения параметра  .

а) 5х₁ - 3х₂ + 2х₃ + 4х₄ = 3

4х₁ - 2х₂ +3х₃ + 7х₄ = 1

8х₁ - 6х₂ - х₃ - 5х₄ = 9

7х₁ - 3х₂ +7х₃ + 17х₄ = 

б) 2х₁ + 3х₂ + х₃ + 2х₄ = 3

4х₁ + 6х₂ +3х₃ + 4х₄ = 5

6х₁ + 9х₂ + 5х₃ + 6х₄ = 7

8х₁ + 12х₂ +7х₃ + х₄ =9

Домашнее задание

1. Даны системы линейных уравнений :

а) 2х₁ + х₂ - х₃ + 3х₄ = 0

3х₁ - х₂ - х₃ + х₄ = 0

х₁ + 3х₂ - х₃ + 5х₄ = 0

б ) х₁ + 21х₂ + (1 - i ) х₃ = 0

-х₁ + 2х₂ + (-1 - i ) х₃ = 0

3х₁ + 61х₂ + (3 - 3i)х₃ = 0

Докажите, что системы имеют ненулевые решения.

Найдите общее решение и одно четное.

2. Даны системы линейных уравнений :

а) 2х₁ - х₂ + 3х₃ + 4х₄ = 5

4х₁ - 2х₂ + 5х₃ + 6х₄ =7

б) х₁ + х₂ + 3х₄ = 5

4х₁ + х₂ + 2х₃ - х₄ = 6

3х_{1 -} 4х₃ - х₄ = -2

2х₁ - х₂ +3х₃ +6х₄ =10

в) 3х₁ - 5х₂ + 2х₃ + 4х₄ = 2

7х₁ - 4х₂ + х₃ + 3х₄ = 5

5х₁ + 7х₂ - 4х₃ - 6х₄ = 3

Исследуйте совместность и найдите общее решение

и одно частное решение систем уравнений.

3. Вычислите ранг матрицы в зависимости от параметра а.

Дополнительные задания :

1. х₁ + х₂ + х₃ = 1

х₁ + х₂ + х₃ = 1

х₁ + х₂ +х₃ = 1

2. (1 + ) х₁ + х₂ + х₃ = 1

х₁ + (1 +  )х₂ + х₃ = 

х₁ + х₂ + (1 +  )х₃ = ²

З А Н Я Т И Е № 16.