6.2. Определение математических понятий

Классическим видом определений является определение через род и видовое отличие. Структура этих определений такова: в определяющем указывается 1) некоторое множество ( род ), в котором содержатся определяемые, и 2) то свойство ( видовое отличие ), которое выделяет определяемый объект из других объектов данного множества. Например : “Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом”. Здесь род - это все параллелограммы, видовое отличие - свойство “иметь прямой угол”.

Структура определения высказывательной формы Р(х) при помощи высказывательной формы Q(х) такова:

(х  Х) (Р(х)  Q(х)),

где Р(х), Q(х) - высказывательные формы на множестве Х, Р(х) содержит новое понятие, Х - род, Q(х) - видовое отличие.

6.3. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы Необходимые и достаточные условия

Определение. Теоремой называется предложение вида

(х) (Р(х)  Q(х)),

где Р(х) и Q(х) высказывательные формы, определённые на одном и том же множестве. Р(х) - условие теоремы, Q(х) - заключение теоремы. Краткая запись теоремы: P  Q.

Определение. Теоремы (х) (Р(х)  Q(х)) и (х) (Q(х)  P(х)) называются обратными друг другу.

Итак, чтобы из теоремы Р  Q получить обратную, нужно поменять местами условие и заключение теоремы. Часто одну из теорем Р  Q, Q  P, скажем теорему Р  Q, называют “прямой теоремой”, а теорему Q  P - “обратной”.

П р и м е р 1. Сформулируйте обратную к следующей теореме и установите её истинность: “Если каждое из слагаемых делится на 11, то и сумма делится на11”.

РЕШЕНИЕ. Условие Р(х) - “каждое из слагаемых делится на 11”, заключение теоремы Q(х) - “сумма делится на11”. Теорему обратную данной можно записать так: (х) (Q(х)  P(х)). Читаем:

“если сумма делится на 11, то и каждое слагаемое делится на 11”. Здесь прямая теорема верна, но обратная является ложной.

Определение. Пусть справедлива теорема

(х) (Р(х)  Q(х)). В этом случае теорему принято выражать любой из следующих формулировок:

Р является достаточным условием для Q,

Q является необходимым условием для Р.

По отношению к примеру №1 условие “каждое слагаемое делится на 11” является достаточным для того, чтобы “сумма делилась на 11”. Также, “сумма делится на 11” является необходимым условием для того, чтобы “каждое слагаемое делилось на 11”.

Итак, если справедлива теорема P  Q, то мы можем сказать, что Р является достаточным условием для Q или, из Р следует Q

( краткая запись: Р  Q ). Точно также можно сказать, что Q является необходимым условием для Р, Q следует из Р.

Определение. Теорема (х) (Р(х)  Q(х)) называется противоположной к теореме (х) (Р(х)  Q(х)), т.е. если в некоторой теореме заменить и условие и заключение их отрицаниями, то получится новая теорема, которая называется противоположной к данной.

П р и м е р 2. Пусть Р(х) - “ многоугольник х является четырехугольником”, Q(х) - “сумма внутренних углов многоугольника х равна 2“. Теорема Р Q выглядит следующим образом: если многоугольник х является четырехугольником, то сумма его внутренних углов равна 2. Противоположная теорема P Q: если многоугольник х не является четырехугольником, то сумма его внутренних углов не равна 2.

ЗАМЕЧАНИЕ. Непосредственно из закона контрапозиции следует: теорема Р Q равносильна теореме Q  Р; теорема Q  P равносильна теореме P Q.