2.3. Прямое произведение множеств. Правило произведения

Определение. Прямым произведением двух множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар

(а ; в) таких, что а А и в  В. Обозначение: АВ.

А В = { (а ; в) | а А и в В }

Аналогично определяется прямое произведение n множеств

А₁А₂^...А_n = { (a₁,a₂,...,a_n) | a₁  A₁, a₂  A₂,..., a_n  A_n }

Здесь: (а₁, а₂,..., а_n) - упорядоченная n-ка.

Считаем, что (а ; в) = (а₁ ; в₁), если а = а₁ и в = в₁.

ПРИМЕР. Найдите А  В, если А = { 1, 2 }, b = { a, b, c }.

ОТВЕТ:

По определению АВ = { (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}.

Пусть А и В - числовые множества. Тогда элементы прямого произведения этих множеств будут упорядоченными парами чисел, которые можно изобразить на плоскости и получить фигуру.

ПРИМЕР. Изобразите на координатной плоскости А  В, если:

а) А = { 1, 2, 3 }, B = { 2, 4 };

б) А = { 1, 2, 3, 4 }, B = [ 1 ; 4 ];

в) А = [ 1 ; 3 ], B = [ 1 ; 4 ].

ОТВЕТ: Результаты изображены:

у у у

4 4 4

3 3 3

2 2 2

1 1 1

1 2 3 4 5 х 1 2 3 4 5 х 1 2 3 4 5 х

а) б) в)

Как найти число элементов прямого произведения двух множеств? Рассмотрим это на примере. Пусть А = {a, d, c}, т.е. n(A) = 3 и В ={p, q}, где n(B) = 2. Выпишем все элементы множества А  В:

(a, p) (b, p) (c, p)

(a, q) (b, q) (c, q)

В этой таблице n(A) столбцов и n(B) строк. Поэтому

n(A  B) = n(A) ^. n(B)

Можно сформулировать и более общее утверждение

Теорема. Если А₁, А₂,..., А_n - конечные множества, то

n(A₁ A₂^... A_n) = n(A₁) ^. n(A₂) ^{. ... .} n(A_n).

ЗАДАЧА. Сколько двузначных чисел можно образовать используя только цифры 0, 1, 2, ?

РЕШЕНИЕ. Первую цифру двузначного числа мы можем выбрать только из множества А = { 1, 2 } ( почему? ), а вторую цифру из

множества В = {0, 1, 2 }. Получим: 10, 11, 12, 20, 21, 22. Их шесть.

n(A  B) = n(A) ^. n(B) = 2^.3 = 6.

Решение таких задач можно проводить на основе следующего утверждения, обобщающего теорему:

Правило произведения. Если первый элемент а₁ упорядоченной n-ки можно выбрать m₁ способом, второй элемент а₂ , после выбора а₁, - m₂ способами ( независимо от того, как выбран а₁ ) и т.д., элемент а_n , после выбора а₁, а₂,..., а_n-1 и независимо от того, как они выбраны, - m_n способами, то общее число получаемых n-ок равно m = m₁m₂^...m_n.