2.3 Проверка χ²
С помощью критерия Пирсона (χ²) проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности:
,
(2.6)
где:
-эмпирические
частоты
-теоретические
частоты
Теоретические частоты находят по формуле:
, (2.7)
где:
-теоретические
частоты
-эмпирические
частоты
-теоретическая
вероятность попадания величины в
заданный интервал
Теоретическая вероятность попадания величины в заданный интервал рассчитывается по формуле
, (2.8)
где:
-
функция Лапласа
Концы интервалов вычисляются по формуле
, (2.9)
, (2.10)
,
- границы интервалов (
,
)
-математическое
ожидание случайной величины
-среднее
квадратическое отклонение
С помощью критерия Пирсона (χ²) проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Для этого построим вспомогательные таблицы для каждого случая:
Таблица 2.7
|
Границы интервала
|
|
|
|
|
|
|
χ² |
|||||||
|
ai |
bi |
ai-МО |
bi-МО |
Ф((ai-МО)/СКО) |
Ф((bi-МО)/СКО) |
pi=Ф((bi-МО)/СКО))-Ф((ai-МО)/СКО) |
ni' |
((ni-ni')^2)/ni' |
||||||
|
1.93 |
1.95 |
-0.0812 |
-0.0612 |
-0.4922 |
-0.4664 |
0.0258 |
3.741 |
0.4237 |
||||||
|
1.95 |
1.97 |
-0.0612 |
-0.0412 |
-0.4664 |
-0.3907 |
0.0757 |
10.9765 |
0.0869 |
||||||
|
1.97 |
1.99 |
-0.0412 |
-0.0212 |
-0.3907 |
-0.2357 |
0.1550 |
22.475 |
2.5195 |
||||||
|
1.99 |
2.01 |
-0.0212 |
-0.0012 |
-0.2357 |
-0.0160 |
0.2197 |
31.8565 |
2.4622 |
||||||
|
2.01 |
2.03 |
-0.0012 |
0.0188 |
-0.0160 |
0.2123 |
0.2283 |
33.1035 |
0.2910 |
||||||
|
2.03 |
2.05 |
0.0188 |
0.0388 |
0.2123 |
0.3770 |
0.1647 |
23.8815 |
0.7103 |
||||||
|
2.05 |
2.07 |
0.0388 |
0.0588 |
0.3770 |
0.4608 |
0.0838 |
12.151 |
1.9351 |
||||||
|
2.07 |
2.09 |
0.0588 |
0.0788 |
0.4608 |
0.4909 |
0.0301 |
4.3645 |
2.5936 |
||||||
|
2.09 |
2.11 |
0.0788 |
0.0988 |
0.4909 |
0.4984 |
0.0075 |
1.0875 |
0.0070 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0.9906 |
143.637 |
11.0292 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Х^2набл= |
11.0292 |
|
|
Х^2табл= |
(0,05;9-3) |
12.5916 |
|
Х^2табл= |
(0,01;6) |
16.8119 |
|
0.02 |
Шаг h |
Так как χ²набл<χ²табл, нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты отличаются незначимо.(см. Приложение 1. рис.1).
Таблица 2.8
|
Границы интервала
|
|
|
|
|
|
|
χ² |
|
|
ai |
bi |
ai-МО |
bi-МО |
Ф((ai-МО)/СКО) |
Ф((bi-МО)/СКО) |
pi=Ф((bi-МО)/СКО))-Ф((ai-МО)/СКО) |
ni' |
((ni-ni')^2)/ni' |
|
1.9 |
1.93 |
-0.1235 |
-0.0935 |
-0.4996 |
-0.4938 |
0.0058 |
0.667 |
8.1603 |
|
1.93 |
1.96 |
-0.0935 |
-0.0635 |
-0.4938 |
-0.4554 |
0.0384 |
4.416 |
4.4160 |
|
1.96 |
1.99 |
-0.0635 |
-0.0335 |
-0.4554 |
-0.3159 |
0.1395 |
16.0425 |
2.2124 |
|
1.99 |
2.02 |
-0.0335 |
-0.0035 |
-0.3159 |
-0.0359 |
0.2800 |
32.2 |
4.6224 |
|
2.02 |
2.05 |
-0.0035 |
0.0265 |
-0.0359 |
0.2611 |
0.2970 |
34.155 |
1.8019 |
|
2.05 |
2.08 |
0.0265 |
0.0565 |
0.2611 |
0.4345 |
0.1734 |
19.941 |
0.8262 |
|
2.08 |
2.11 |
0.0565 |
0.0865 |
0.4345 |
0.4893 |
0.0548 |
6.302 |
0.8409 |
|
|
|
|
|
|
|
0.9889 |
113.7235 |
22.8800 |
|
0.03 |
Шаг h |
|
Х^2набл= |
22.8800 |
|
|
Х^2табл= |
(0,05;7-3) |
9.4877 |
|
Х^2табл= |
(0,01;4) |
13.2767 |
Так как χ²набл>χ²табл, гипотезу о нормальном распределении отвергаем. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты отличаются значимо. (см. Приложение 1. рис.2).
Таблица 2.9
|
Границы интервала
|
|
|
|
|
|
|
χ² |
|
|
ai |
bi |
ai-МО |
bi-МО |
Ф((ai-МО)/СКО) |
Ф((bi-МО)/СКО) |
pi=Ф((bi-МО)/СКО))-Ф((ai-МО)/СКО) |
ni' |
((ni-ni')^2)/ni' |
|
1.85 |
1.86 |
-0.0590 |
-0.0490 |
-0.4973 |
-0.4893 |
0.0080 |
0.84 |
0.0305 |
|
1.86 |
1.87 |
-0.0490 |
-0.0390 |
-0.4893 |
-0.4671 |
0.0222 |
2.331 |
5.7750 |
|
1.87 |
1.88 |
-0.0390 |
-0.0290 |
-0.4671 |
-0.4147 |
0.0524 |
5.502 |
0.0458 |
|
1.88 |
1.89 |
-0.0290 |
-0.0190 |
-0.4147 |
-0.3159 |
0.0988 |
10.374 |
10.3740 |
|
1.89 |
1.9 |
-0.0190 |
-0.0090 |
-0.3159 |
-0.1628 |
0.1531 |
16.0755 |
0.9581 |
|
1.9 |
1.91 |
-0.0090 |
0.0010 |
-0.1628 |
0.0199 |
0.1827 |
19.1835 |
1.7636 |
|
1.91 |
1.92 |
0.0010 |
0.0110 |
0.0199 |
0.1985 |
0.1786 |
18.753 |
0.7511 |
|
1.92 |
1.93 |
0.0110 |
0.0210 |
0.1985 |
0.3389 |
0.1404 |
14.742 |
1.8754 |
|
1.93 |
1.94 |
0.0210 |
0.0310 |
0.3389 |
0.4279 |
0.0890 |
9.345 |
2.0202 |
|
1.94 |
1.95 |
0.0310 |
0.0410 |
0.4279 |
0.4732 |
0.0453 |
4.7565 |
0.1203 |
|
1.95 |
1.96 |
0.0410 |
0.0510 |
0.4732 |
0.4918 |
0.0186 |
1.953 |
2.1455 |
|
|
|
|
|
|
|
0.9891 |
103.856 |
25.8595 |
|
0.01 |
Шаг h |
|
Х^2набл= |
25.8595 |
|
|
Х^2табл= |
(0,05;11-3) |
15.5073 |
|
Х^2табл= |
(0,01;8) |
20.0902 |
Так как χ²набл>χ²табл, гипотезу о нормальном распределении отвергаем. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты отличаются значимо. (см. Приложение 1. рис.3).
Таблица 2.10
|
Границы интервала
|
|
|
|
|
|
|
χ² |
|
|
ai |
bi |
ai-МО |
bi-МО |
Ф((ai-МО)/СКО) |
Ф((bi-МО)/СКО) |
pi=Ф((bi-МО)/СКО))-Ф((ai-МО)/СКО) |
ni' |
((ni-ni')^2)/ni' |
|
1.85 |
1.87 |
-0.0600 |
-0.0400 |
-0.4971 |
-0.4678 |
0.0293 |
2.2268 |
1.4120 |
|
1.87 |
1.89 |
-0.0400 |
-0.0200 |
-0.4678 |
-0.3212 |
0.1466 |
11.1416 |
3.3854 |
|
1.89 |
1.91 |
-0.0200 |
0.0000 |
-0.3212 |
0.0000 |
0.3212 |
24.4112 |
1.2795 |
|
1.91 |
1.93 |
0.0000 |
0.0200 |
0.0000 |
0.3212 |
0.3212 |
24.4112 |
0.2745 |
|
1.93 |
1.95 |
0.0200 |
0.0400 |
0.3212 |
0.4678 |
0.1466 |
11.1416 |
2.3727 |
|
1.95 |
1.97 |
0.0400 |
0.0600 |
0.4678 |
0.4971 |
0.0293 |
2.2268 |
1.4120 |
|
|
|
|
|
|
|
0.9942 |
75.5592 |
10.1362 |
|
0.02 |
Шаг h |
|
Х^2набл= |
10.1362 |
|
|
Х^2табл= |
(0,05;6-3) |
7.8147 |
|
Х^2табл= |
(0,01;3) |
11.3449 |
Так как χ²набл<χ²табл, нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты отличаются незначимо.(см. Приложение 1. рис.4).
Таблица 2.11
|
Границы интервала |
|
|
|
|
|
|
|
χ² |
|
ai |
bi |
ai-МО |
bi-МО |
Ф((ai-МО)/СКО) |
Ф((bi-МО)/СКО) |
pi=Ф((bi-МО)/СКО))-Ф((ai-МО)/СКО) |
ni' |
((ni-ni')^2)/ni' |
|
1.85 |
1.87 |
-0.0633 |
-0.0433 |
-0.4945 |
-0.4591 |
0.0354 |
1.062 |
0.8285 |
|
1.87 |
1.89 |
-0.0433 |
-0.0233 |
-0.4591 |
-0.3264 |
0.1327 |
3.981 |
0.9858 |
|
1.89 |
1.91 |
-0.0233 |
-0.0033 |
-0.3264 |
-0.0517 |
0.2747 |
8.241 |
0.3754 |
|
1.91 |
1.93 |
-0.0033 |
0.0167 |
-0.0517 |
0.2486 |
0.3003 |
9.009 |
0.1130 |
|
1.93 |
1.95 |
0.0167 |
0.0367 |
0.2486 |
0.4292 |
0.1806 |
5.418 |
0.0625 |
|
1.95 |
1.97 |
0.0367 |
0.0567 |
0.4292 |
0.4881 |
0.0589 |
1.767 |
0.0307 |
|
|
|
|
|
|
|
0.9826 |
29.478 |
2.3959 |
|
0.02 |
Шаг h |
|
Х^2набл= |
2.3959 |
|
|
Х^2табл= |
(0,05;6-3) |
7.8147 |
|
Х^2табл= |
(0,01;3) |
11.3449 |
Так как χ²набл<χ²табл, нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты отличаются незначимо.(см. Приложение 1. рис.5).
Таблица 2.12
|
Границы интервала |
|
|
|
|
|
|
|
χ² |
|
ai |
bi |
ai-МО |
bi-МО |
Ф((ai-МО)/СКО) |
Ф((bi-МО)/СКО) |
pi=Ф((bi-МО)/СКО))-Ф((ai-МО)/СКО) |
ni' |
((ni-ni')^2)/ni' |
|
1.85 |
1.87 |
-0.0631 |
-0.0431 |
-0.4934 |
-0.4554 |
0.0380 |
1.102 |
0.7318 |
|
1.87 |
1.89 |
-0.0431 |
-0.0231 |
-0.4554 |
-0.3186 |
0.1368 |
3.9672 |
0.9755 |
|
1.89 |
1.91 |
-0.0231 |
-0.0031 |
-0.3186 |
-0.0478 |
0.2708 |
7.8532 |
0.5869 |
|
1.91 |
1.93 |
-0.0031 |
0.0169 |
-0.0478 |
0.2486 |
0.2964 |
8.5956 |
0.2962 |
|
1.93 |
1.95 |
0.0169 |
0.0369 |
0.2486 |
0.4279 |
0.1793 |
5.1997 |
0.1232 |
|
1.95 |
1.97 |
0.0369 |
0.0569 |
0.4279 |
0.4875 |
0.0596 |
1.7284 |
0.0427 |
|
|
|
|
|
|
|
0.9809 |
28.4461 |
2.7561 |
|
0.02 |
Шаг h |
|
Х^2набл= |
2.7561 |
|
|
Х^2табл= |
(0,05;6-3) |
7.8147 |
|
Х^2табл= |
(0,01;3) |
11.3449 |
Так как χ²набл<χ²табл, нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты отличаются незначимо.(см. Приложение 1. рис.6).