4) Явные способы вычисления определителей матриц размеров 2 X 2 и 3 X 3 (с выводом).

Определитель матрицы 2 × 2

Для вычисления определителя матрицы размером 2 × 2 перемножаются её элементы, стоящие на главной диагонали и из них вычитается произведение остальных элементов:

|A| = a₁₁ a₂₂ − a₁₂ a₂₁

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

Определитель матрицы 3 × 3

Для вычисления определителя матрицы размером 3 × 3 строится шесть произведений следующим образом:

 |A| = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₂a₂₁a₃₃ − a₁₁a₂₃a₃₂

 При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

II. Матрицы.

1)Определение матрицы.

Матрица – это прямоугольная таблица чисел

2)Равенство матриц.

А=В, если 1. А_[mxn]=B_[mxn]

2. a_ij=b_ij

Соответствующие элементы – элементы с одинаковыми индексами

Две матрицы равны если они совпадают и их размерности равны

Операции над матрицами

1. Сложение

С_[mxn]= А_[mxn]+B_[mxn], если с_ij= a_ij+b_ij

Свойства сложения матриц

1. Коммутативность (переместительный закон)

А+В=В+А

Доказательствo:

Пусть С_[mxn]=А_[mxn]+B_[mxn], D_[mxn]=B_[mxn]+A_[mxn],

А) Размерности С и В совпадают

Б) с_ij= a_ij+b_ij, по определению

d_ij= b_ij+a_ij, но т.к. a_ij и b_ij – числа, то a_ij+b_ij= b_ij+a_ij→ c_ij=d_ij→C=В

2. Ассоциативность (Сочетательный закон)

(A+B)+C=A+(B+C)

Доказательствo:

D’=A+B, D=D’+C, P’=B+C, P=A+P’

А) Размерность D’_[mxn]=A_[mxn]+B_[mxm]

D_[mxn]=D’_[mxn]+C_[mxn], аналогично для P_[mxn]

Б)d’_ij= a_ij+b_ij; d_ij=d’_ij+c_ij= (a_ij+b_ij) +c_ij

p’_ij= b_ij+a_ij; p_ij=p’_ij+a_ij= a_ij+(b_ij +c_ij)

Для чисел aij, b_ij, c_ij справедливо равенство (a_ij+b_ij) +c_ij = a_ij+(b_ij +c_ij) →p_ij=d_ij→P=В

3. Нейтральный элемент относительно сложения

Θ такая, что Θ + А =А+ Θ=А

А) Размерности совпадают

Б) Θ_ij+a_ij=a_ij+Θ_ij→ Θ_ij=0

II. Вычитание

С=A-B, если А=В+С

c_ij=a_ij-b_ij

Противоположные матрицы – матрицы сумма которых равна 0.

Нулевая матрица – матрица все элементы которой равны 0

О=

2.

2. Умножение матрицы на число

С=k*A, если

1. с_ij=ka_ij

2. размерности совпадают

Свойства операции

1. k(A+B)=kA+kB

2. (k+n)A=kA+nA

3. (kn)A=k(nA)=n(kA)

4. Вычитание можно представить как сложение с обратной матрицей

A-B=A+(-1)B

3.

IV. Транспонирование матриц

A= A^т=

C_[mxn]=(A_[mxn])^т, если с_ij=a_ji

Свойства

1. (A+B)^т=А^т+В^т

2. (nA)^т=nA^т

Доказательствo: С=А^т, если c_ij=a_ji

B=nA, C=B^т (слева)

D=A^т, P=nD (справа)

А) Размерности B=nA

C=B^т, D=A^т, P=nD

б) Посвойству умножения элементы В совпадают с элементами А умноженными с тем же числом

b_ij=na_ij (слева)

d_ji=a_ij ,p_ji=nd_ji=na_ij

→p_ji=c_ji→B=C

3. (А^т)^т=А

4.

V. Произведение матриц

A_[mxn]*B_[nxr]=C_[mxr]

Согласованные матрицы-матрицы число столбцов 1 матрицы равно числу строк во 2

Если А и В согласованны то В и А не всегда

С называется произведением A*B, если

1. C_[mxn] =A_[mxr]*B_[rxn]

2. с_ij=

Элемент матрицы С, стоящий в i-й строке и j-м столбце равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы о столбца матрицы В.

Свойства

1. AB≠BA

2. (AB)C=A(BC) (без док)

3. A(B+C)=AB+AC

4. n(AB)=A(nB)

5. (AB)^т=В^тА^т

VI. Нейтральный элемент относительно умножения – единичная матрица (Е)

AE=A=EA

Единичная матрица – квадратная матрица все элементы которой, расположенные на гланой диагонали равны 1, а остальные 0.

E_ij=1, при i=j

VII. Умножение на нулевую матрицу

A_[mxn] Θ_[nxr]= Θ_[mxr]

5.

VIII. Возведение матрицы в степень

(A_[mxn])^k=AAAAAA…(k раз)

3)Определение особой (вырожденной) и неособй (невыражденной) матриц.

Вырожденная матрица – матрица определитель которой не равен 0

4. Транспонирование матрицы: определение, обозначения и пример. Связь det A и det A^'

Транспонированная матрица – матрица А^Т, полученная из исходной матрицы А заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы А размеров m x n – матрица А^Т размеров n x m

Пример,

и .

Связь det A и det A':

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

5. Правила умножения матриц: какие матрицы можно перемножать, какая матрица при этом получается, как вычисляются элементы произведения.

1) Важен порядок сомножителей, нужно знать какой сомножитель первый, а какой второй;

2) Произведение определено только в том случае, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго;

3) Размеры результата умножения определяются следующим образом: число строк результата равно числу столбцов второго сомножителя.

Правило вычисления элементов произведения можно сформулировать следующим образом:

Для того, чтобы вычислить элемент произведения, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, нужно взять i-ую строку первого сомножителя и j-ый столбец второго сомножителя, попарно перемножить их элементы, стоящие на одинаковых столбцах и результаты сложить.

6. Свойства произведения матриц. Коммутативные и некоммутативные матрицы. Примеры.

1) Сочетательное свойство:

2) Распределительное свойство:

.

3) Произведение матрицы на единичную матрицу Е подходящего порядка равно самой матрице:

4) Произведение матрицы на нулевую матрицу 0 подходящей размерности равно нулевой матрице:

5) Умножение матриц в целом некоммутативно:

Если АВ = ВА, то матрицы называются перестановочными или коммутирующими между собой.

7. Определение и обозначение обратной матрицы.

Квадратная матрица А называется неособенной ( невырожденной), если она имеет единственную обратную матрицу А^-1 такую, что выполняется условие:

8) Теорема о необходимом и достаточном условии сществования обратной матрицы (без доказательств).

Обратные матрицы будут существовать для неособых матриц, потому что

9) Теорема о единственности обратной матрицы ( с доказательством).

Если у матрицы  существует обратная матрица  , то она единственна.

Доказательство.

Пусть существует  матрица , для которой  и матрица , для которой .

Тогда , то есть . Умножим обе части равенства на матрицу , получим , где  и .

Значит, , что и требовалось доказать.

III. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

1)Определения: СЛАУ, совместные и несовместные СЛАУ.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.