Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду). Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду Простейший случай

В простейшем случае алгоритм выглядит так:

Прямой ход:

Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.

6) Определение ранга матрицы. Матрицы ступенчатого (трапецеидального) вида. Порядок нахождения ранга матрицы (алгоритм Гауса).

Горизонтальный и вертикальный ранг

Пусть — поле, и — матрица порядка с коэффициентами из .

Определение 1. Рассмотрим -мерные вектора, составленные из строк матрицы :

, , .

Максимальное количество линейно независимых векторов системы называется горизонтальным рангом¹⁾ матрицы .

Определение 2. Рассмотрим -мерные вектора, составленные из столбцов матрицы :

, , …, .

Максимальное количество линейно независимых векторов системы называется вертикальным рангом²⁾ матрицы .

Пример 1. Рассмотрим матрицу . Вертикальный ранг равен 2, так как вектор-столбец является линейной комбинацией линейно независимых векторов и : .

Элементарные преобразования матрицы

Определение 3. Элементарными преобразованиями³⁾ строк матрицы называются преобразования следующих трех типов:

перестановка двух строк,

прибавление к одной строке другой, умноженной на число,

умножение строки матрицы на ненулевое число.

Предложение 1. Элементарные преобразования строк матрицы не меняют ее горизонтальный ранг.

Определение 4. Матрица называется ступенчатой⁴⁾, если

Номера первых ненулевых элементов в строках матрицы образуют строго возрастающую последовательность,

Нулевые строки матрицы, если они есть, стоят в конце.

Таким образом, ступенчатая матрица имеет вид

Предложение 2. Горизонтальный ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Предложение 3. Каждую матрицу путем элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду.

Пример 2. Приведем матрицу

к ступенчатому виду. Прибавив к строкам 2, 3, 4 первую строку, умноженную на -1, -2, -2, соответственно, получим матрицу

.

Прибавляя к строкам 3 и 4 вторую строку, умноженную на 3 и 4, соответственно, получим

.

Переставляя две последние строки, получаем матрицу ступенчатого вида

.

Горизонтальный ранг этой матрицы равен 3, поэтому горизонтальный ранг исходной матрицы также равен 3.

IV. Линейные операции над векторами.

3) Основные свойства линейных операций над векторами.

Определение 5.4.Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а.

b

a+b

a

Замечание. Такое правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Свойства сложения:

Свойство 1. a + b = b + a.

Доказательство. Приложим векторы а и b к общему началу и рассмотрим параллелограмм

AOBC. Из определения 5.4 и треугольника ОВС следует, что ОС=b+a, а из треугольника

ОАС – ОС=а+b. Свойство 1 доказано В а С Замечание. При этом сформулировано еще одно правило

B b сложения векторов – правило параллелограмма: сумма

a+b= векторов a и b есть диагональ параллелограмма, построенно-

=b+a го на них как на сторонах, выходящая из их общего начала

О А

а

Свойство 2. (a+b)+c=a+(b+c).

B Доказательство. Из рисунка видно, что

A a+b B (a+b)+c=(OA+AB)+BC=OB+BC=OC,

A a+(b+c)=OA+(AB+BC)=OA+AC=OC.

Свойство 2 доказано.

b+с

O c С

Свойство 3. Для любого вектора a существует нулевой вектор О такой, чтоa+О=а.

Доказательство этого свойства следует из определения 5.4.

Свойство 4.Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a^/ такой, что а+а^/=О.

Доказательство. Достаточно определить a^/  как вектор, коллинеарный вектору a, имеющий одинаковую с ним длину и противоположное направление.