4) Определение линейной комбинации векторов и линейной зависимости и независимости векторов.

Линейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов  называют вектор

где- коэффициенты линейной комбинации. Есликомбинация называется тривиальной, если- нетривиальной.

Линейная зависимость и независимость векторов

Системалинейно зависимачто

Системалинейно независима

Критерий линейной зависимости векторов

Для того чтобы векторы(r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

5) Определение базиса. Разложение вектора по базисным векторам.

Базис — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества -базисных векторов.

п.2. Разложение вектора по базису. Определение. Пусть– произвольный вектор– произвольная система векторов. Если выполняется равенство

, (1)

то говорят, что вектор  представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису. Коэффициенты линейной комбинацииназываются в этом случае координатами вектораотносительно базиса .

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и –базис . Возьмем произвольный вектор . Так как оба вектор иколлинеарные одной и той же прямой L, то . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как , то найдется (существует) такое число , что  и тем самым мы получили разложение вектора  по базису  векторного пространства.

Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора  по базису  векторного пространства :

 и , где . Тогда  и используя закон дистрибутивности, получаем:

.

Так как , то из последнего равенства следует, что , ч.т.д.

2) Пусть теперь Р произвольная плоскостьи–базис. Пусть произвольный вектор этой плоскости. Отложим все три вектора от какой-нибудь одной точки этой плоскости. Построим 4 прямых. Проведем прямую, на которой лежит вектор ,прямую, на которой лежит вектор. Через конец векторапроведем прямую параллельную вектору  и  прямую параллельную вектору . Эти 4 прямые высекают параллелограмм. См. ниже рис. 3. По правилу параллелограмма , и , ,  –базис, – базис .

Теперь, по уже доказанному в первой части этого доказательства, существуют такие числа , что

 и . Отсюда получаем:

 и возможность разложения по базису доказана.

рис.3.

Теперь докажем единственность разложения по базису. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора  по базису  векторного пространства :  и . Получаем равенство

, откуда следует . Если , то , а т.к. , то  и коэффициенты разложения равны: , . Пусть теперь . Тогда , где . По теореме о коллинеарности двух векторов отсюда следует, что . Получили противоречие условию теоремы. Следовательно,  и , ч.т.д.

3) Пусть – базис  и пусть  произвольный вектор. Проведем следующие построения.

Отложим все три базисных вектора  и вектор  от одной точки и построим 6 плоскостей: плоскость, в которой лежат базисные векторы , плоскость  и плоскость ; далее через конец вектора  проведем три плоскости параллельно только что построенным трем плоскостям. Эти 6 плоскостей высекают параллелепипед:

рис.4.

По правилу сложения векторов получаем равенство:

(1)

По построению . Отсюда, по теореме о коллинеарности двухвекторов, следует, что существует число , такое что . Аналогично, и , где . Теперь, подставляя эти равенства в (1), получаем:

(2)

и возможность разложения по базису доказана.

Докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора  по базису :

 и . Тогда

. (3)

Заметим, что по условию векторы   некомпланарные, следовательно, они попарно неколлинеарные.

Возможны два случая:  или .

а) Пусть , тогда из равенства (3) следует:

. (4)

Из равенства (4) следует, что векторраскладывается по базису, т.е. векторлежит в плоскости векторов и, следовательно, векторы  компланарные, что противоречит условию.

б) Остается случай, т.е. .  Тогда из равенства (3) получаем  или

(5)

Так как – базис пространства векторов лежащих в плоскости, а мы уже доказали единственность разложения по базису векторов плоскости, то из равенства (5) следует, что  и , ч.т.д.

Теорема доказана.