11) Линейные операции над векторами в координатной форме на плоскости и в пространстве.

12) Определение коллинеарности векторов.

Несколько векторов называются коллинеарными (компланарными), если они параллельны одной и той же прямой (плоскости). Векторы и параллельны (коллинеарны), то есть соответствующие координаты этих векторов пропорциональны с одним и тем же коэффициентом пропорциональности: .

Достаточное условие коллинеарности векторов…

векторыивсегда расположены на одной или параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. Справедливо и обратное утверждение: если векторыиколлинеарны, то они связаны соотношением

(8)

Следовательно, равенство (8) выражает условие коллинеарности двух векторов.

В рассмотрении векторов, заданных в координатной форме, условие коллинеарности двух векторов (8) примет вид

или

Это векторное равенство справедливо лишь в том случае, если выполняются следующие три скалярных равенства:

или

т.е. необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃} ,b0, является пропорциональность их соответствующих координат:a₁=b₁,a₂=b₂,a₃=b_3.

V. Скалярное произведение.

1) Определение и обозначение скалярного произведения векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством:

,

где – угол между векторами и . Если , то .

Зная скалярное произведение, можно определить угол между двумя векторами по формуле: .

2) Основные свойства скалярного произведения.

– свойство коммутативности

– свойство дистрибутивности

– скалярный квадрат

3) Определение проекции вектора на ось и на другой вектор. Основные свойства проекции.

Проекция вектора на ось это отрезок заключенный между перпендикулярами проведёнными от концов вектора к оси

Прекция концов данного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-й вектор – проекция вектора на другой вектор

Проекция вектора а на ось L равна произведению модуля вектора а на косинус угла между вектором и осью.

Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось

Если вектор а умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на число

4)Геометрический смысл проекции вектора на ось и на другой вектор.

Геометрический смысл - предельно близкий к смыслу векторного произведения (то есть представляющий ориентированную площадь

5) Формула, выражающая скалярное произведение векторов через координаты сомножителей.

Формулы для вычисления длины (модуля) вектора, косинуса угла между векторами и проекции одного вектора на другой ерез координаты векторов на плоскости и в пространстве.

Косинус между векторами

7) Критерий ортогональности

Два вектора перпендикулярны тогда, когда скалярное произведение векторов равно 0.

VI. Векторное произведение.

1)Определение правой и левой троек векторов.

Упорядоченная тройка неколлинеарных векторов a,b,c называется правой(левой), если после совмещения начал этих векторов для наблюдателя, находящегося в общем начале, последовательный обход концов векторов a,b,c осуществляется по ходу часовой стрелки (против часовой стрелки)

2)Определение и обозначение векторного произведения векторов.

Векторным произведением a×b называется вектор,при котором выполняется 3 условия:

Длина

Если ≠0, направление выбирается так, чтобы тройка была правой.

Векторное произведение обозначается: или

3) Основные свойства векторного произведения.

1) Антикоммутативность-при перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак: для любых a и b

2)Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны.

a × b=0 а||b для любых a и b

В частности:

Действительно, если векторы коллинеарны, то , т.е. площадь параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю.

3) Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. для любого действительного числа λ и любых векторов a, b, c:

4) Дистрибутивность :

для любых векторов a, b, c:

3 и 4 свойства-линейность по первому сомножителю

4) Формула, выражающая векторное произведение векторов через координаты сомножителей.

Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис . Векторные произведения базисных векторов находятся по определению:

Найдем выражение векторного произведения через координаты множителей, используя линейность векторного произведения по любому множителю.

Векторное произведение векторов a и b находится по формуле:

5) Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения |a × b| численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

6) Геометрический смысл определителя матрицы размера 2 x 2

Модуль определителя равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

При этом >0, если вращение от к в сторону меньшего угла происходит против хода часовой стрелки.

=0, если .

<0, если вращение от к в сторону меньшего угла происходит по часовой стрелки.

VII. Смешанное произведение.

4) Критерий того, что тройка векторов является правой (левой).

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке (то есть выберем произвольно в пространстве точку и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой ). Концы векторов, совмещённых началами в точке , не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны. Рассмотрим плоскость - единственную плоскость, проходящую через концы векторов, совмещённых началами в точке . Тогда можно в плоскости провести через концы векторов , совмещённых началами в точке , единственную окружность и выяснить направление обхода трёх точек на окружности, смотря на неё с одной из сторон от плоскости.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве называется правой, если наблюдателю, находящемуся по одну сторону с точкой от плоскости , обход концов приведённых в общее начало векторов в указанном порядке кажется совершающимся в плоскости по часовой стрелке. В этом случае наблюдателю, находящийся с другой стороны от плоскости , обход концов таких векторов будет казаться совершающимся против часовой стрелки.

B противном случае — левая тройка.

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Заметим, что для двух данных векторов рассматриваемого пространства определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.