7) Теорема о единственности разложения вектора по базису ( с доказательством).

В линейном пространстве разложение любого вектора по данному базису единственно.

8) Теорема о координатах вектора в ортогональном базисе.

Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу, т.е. .Обозначение:  – векторы  и  ортогональны. Определение. Тройка векторов  называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, т.е. , Определение. Тройка векторов  называется ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице: .Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной. Определение. Упорядоченная некомпланарная тройка векторов , отложенных от одной точки, называется правой (правоориентированной), если при наблюдении с конца третьего вектора  на плоскость, в которой лежат первые два вектора  и , кратчайший поворот первого вектора  ко второму  происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (левоориентированной).

рис.6.

Здесь, на рис.6 изображена правая тройка векторов . На следующем рис.7  изображена левая тройка векторов :

рис.7.

Определение. Базис  векторного пространства  называется ортонормированным, если  ортонормированная тройка векторов. В дальнейшем мы будем пользоваться правым ортонормированным базисом , см. следующий рисунок:

рис.9.Любой вектор можно разложить по этому базису:  .

9) Определение ортов I и j на плоскости и ортов I,j,k в пространстве.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые i , j , k соответственно (см. рис. 12).

 

Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его начало с началом координат: а=ОМ.

Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М₁ , М₂ и Мз.Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ. Тогда пр _ха=|OM ₁|, np_ya = |ОМ₂|, пр_z а=|ОМз|. По определению суммы нескольких векторов находим а = ОМ ₁ + M₁N + NM.

А так как M ₁N=OM ₂ , NM =ОМз, то

а=ОМ ₁ + ОМ ₂ + ОМ₃ (5.1)

 

Обозначим проекции вектора а=ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответственно через а_х, а_у и a_z, т.е. |OM ₁| = а_х,|ОМ₂| = а_у, |ОМ₃| = а_z. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем - a=a_xi+a_yj+a_zk (5.3)

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа а_х, а_у, a_z называются координатами вектора а, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

10) Определение координат вектора относительно базиса I,j на плоскости и относительно базиса I,j,k в пространстве.

Два линейно независимых вектора на плоскости ( или три линейно независимых вектора в пространстве) образуют базис, если любой вектор плоскости (пространства) может быть представлен в виде их линейной комбинации. Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами данного вектора в рассматриваемом базисе:

если a, b, c – базис и d = ka + mb + pc, то числа k, m, p есть координаты вектора d в базисе a, b, c.

Свойства базиса:

1 Любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые три некомпланарных вектора – базис в пространстве.

2 Разложение данного вектора по данному базису единственно, т.е. его координаты в данном базисе определяются единственным образом.

3. При сложении двух векторов их координаты относительно любого базиса складываются.

4При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.