5) Формула выражающая смешанное произведение векторов через координаты сомножителей.
Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение обозначается .
1.
Модуль смешанного произведения
некомпланарных векторов
равен объему
параллелепипеда, построенного на этих
векторах. Произведение
положительно, если тройка векторов
—
правая, и отрицательно, если тройка
— левая, и наоборот.
2.
Смешанное произведение
равно нулю тогда и только тогда, когда
векторы компланарны:
векторы
компланарны.
(формула
вычисления смешанного произведения).
Если векторы
в правом ортонормированном базисе
имеют
координаты
;
;
соответственно, то смешанное произведение
этих векторов находится по формуле
В самом деле, по определению находим:
6) Геометрический смысл смешанного произведения векторов.
Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.
В частности, формула вычисления определителя матрицы 3х3 такова:
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31
Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке)
7) Формула для объёма параллелепипеда
,
При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным
На
рисунке показано, что этот объём может
быть найден двумя способами: геометрический
результат сохраняется даже при замене
«скалярного» и «векторного» произведений
местами:
Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0, если векторы параллельны.
8)Определение компланарности векторов.
Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.
9)Критерий комплонарности векторов.
Критерий компланарности векторов
Смешанное
произведение компланарных векторов 
.
Это — критерий компланарности трёх
векторов.
Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.
VIII. Двойное векторное произведение.
1)Определение двойного векторного произведения.
Определение двойного векторного произведения
Тройно́е
ве́кторное произведе́ние (другое
название: двойное векторное
произведение) 
векторов 
—векторное
произведение вектора 
на
векторное произведение векторов 
и 
2) Формула для вычисления двойного векторного произведения.
Формула Лагранжа
Для двойного векторного произведения справедлива формула Лагранжа,
Порядок нахождения обратной матрицы методом Гауса.
Найти ai1≠0 и поставить на первое место
S1→S1:a11
Si→Si-ai1S1, где i=2,3...m
Ищем aj2≠0(j≠1) и т.д. если aj2=0 при любом j=2…m, то ищем aj3≠0 (j≠1).
Теорема Кронекера-Капелли
Система из m линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы, причем:
если rA=rÂ=n – 1 решение.
если rA=rÂ<n - ∞ решений.
если rA≠rÂ≤n - нет решений.