Чернігівський державний інститут

економіки і управління

Невизначений і визначений інтеграл

лекції, вправи до розділу і контрольні завдання для індивідуальної самостійної роботи та поточного контролю

для студентів всіх спеціальностей

Чернігів, 2009р.

Чернігівський державний інститут

економіки і управління

Невизначений і визначений інтеграл

лекції, вправи до розділу і контрольні завдання для індивідуальної самостійної роботи та поточного контролю

для студентів всіх спеціальностей

Затверджено на засіданні кафедри

Протокол №1 від 28.08.2008р.

Чернігів, 2009р.

Рецензенти:

В.В. Суровець – канд.тех. наук, доцент кафедри вищої математики, ЧДІЕУ

Е.Ф. Сідін – канд.тех. наук, доцент, завідувач кафедрою ВМ, ЧДІЕУ

Укладач Г.І.Тур – ст.викладач, кафедри ВМ, ЧДІЕУ

“Невизначений і визначений інтеграли”

У даній розробці стисло викладено теоретичний матеріал вузівського курсу вищої математики даного розділу.

Подано вправи до даних розділів та індивідуальні завдання, мета яких закріпити теоретичні знання, а також розвиток навиків самостійної роботи студентів.

Зміст

Зміст 4

Вступ 5

Розділ 6. Невизначений інтеграл. 6

Розділ 7. Визначений інтеграл. 22

Питання для самоконтролю. 34

Вправи до розділу “Невизначений інтеграл”. 35

Правила виконання і оформлення контрольних завдань. 37

Індивідуальне контрольне завдання по темі 38

“Невизначений інтеграл”. 38

Вправи до розділу “Визначені та невласні інтеграли”. 49

Індивідуальне контрольне завдання по темі 50

“Визначені та невласні інтеграли”. 50

Рекомендована література. 62

Вступ Невизначений і визначений інтеграли.

В цьому розділі висвітлюється друге основне поняття математичного аналізу – поняття інтеграла. В історії розвитку математики до поняття інтеграла привела задача обчислення границь сум нескінченно малих величин, коли число доданків необмежено зростає. В зв’язку з трудностями обчислень, що виникли при цьому, необхідно було знайти єдиний метод визначення границь таких сум. Пізніше поняття інтеграла розвивалось і вдосконалювалось як інструмент пізнання оточуючого світу.

Як визначити площу плоскої фігури довільної форми, величину роботи, що здійснюється змінною силою, кількість речовини, що вступає в реакцію, об’єм тіла, втрату теплоти при охолодженні тіла? Ці і багато інших задач можна розв’язувати за допомогою інтеграла.

Розділ 6. Невизначений інтеграл.

6.1. Первісна та її властивості.

6.2. Невизначений інтеграл і його властивості.

6.3. Основні правила застосування.

6.4. Таблиця основних інтегралів.

6.5. Поняття інтегралів, що не виражаються елементарними функціями.

6.6. Основні методи інтегрування.

6.6.1. Метод безпосереднього інтегрування.

6.6.2. Метод підстановки (заміни змінної).

6.6.3. Метод інтегрування частинами.

6.6.4. Інтегрування раціональних дробів.

6.6.5. Інтегрування виразів, що містять ірраціональності.

6.6.6. Інтегрування деяких тригонометричних виразів.

6.6.7. Раціональна функція від .

Із елементарної математики відомо взаємно обернені дії: додавання та віднімання, множення та ділення, піднесення до степеня та добування кореня, логарифмування та потенціювання. Іншою парою взаємно обернених математичних операцій є диференціювання та інтегрування.

В попередній темі було розглянуто основи диференціального числення функцій однієї змінної. Диференціюванням функції, як відомо, називають процес знаходження похідної або диференціала заданої функції .

Обернений процес – знаходження функції за заданою похідною або заданим диференціалом - називають інтегруванням функції , а знайдену функцію називають первісною.

Частину математики, що вивчає цей процес та його застосування, називають інтегральним численням функції однієї змінної.

Розглянемо приклади задач, що приводять до необхідності інтегрування функції.

Якщо функція вказує закон зміни відстані з часом нерівномірного руху, то миттєва швидкість цього руху знаходиться диференціюванням функції .

Але іноді трапляється так, що швидкість нерівномірного руху відома як функція часу і треба знайти закон зміни відстані з часом . У цьому випадку задана і треба визначити , тобто виконати операцію, обернену диференціюванню.

Інший приклад, якщо нам відома маргінальна функція витрат і треба знайти функцію продуктивних витрат виробництва одиниць продукції.

6.1. Первісна та її властивості.

Означення: Первісною функцією для заданої функції називають таку функцію , похідна якої дорівнює , або диференціал якої дорівнює .

Отже, первісна для заданої функції задовольняє рівності або .

Наприклад, функція або . Згідно з правилами диференціювання, функції, що відрізняються лише постійним доданком, мають однакову похідну, тобто .

Тому, якщо має первісну , то вона має нескінченну кількість первісних функцій, відмінних одна від одної на постійний доданок, тобто функцій вигляду , де - довільна стала. Наприклад, функція має первісні , , , ... , ; тому, що похідні усіх цих функцій однакові і дорівнюють .

Теорема: Будь-які дві первісні для заданої функції відрізняються лише постійним доданком.

Отже, сукупність первісних має вигляд , якщо - одна з первісних.