6.2. Невизначений інтеграл і його властивості.

Означення: Сукупність усіх первісних для заданої функції називають невизначеним інтегралом і позначають . Отже, .

Знак означає операцію інтегрування і називається знаком інтеграла, вираз називають підінтегральним виразом, функцію - підінтегральною, змінну , що стоїть перед знаком диференціала, називають змінною інтегрування, - деяка первісна для заданої , а - довільна постійна інтегрування.

Процес знаходження невизначеного інтеграла називають інтегруванням.

Якщо побудувати криву-графік однієї первісної функції , то усі інші криві (графіки інших первісних для однієї функції) одержують шляхом зміщення цієї кривої по осі , на величину, що дорівнює значенню постійної .

Основні властивості невизначеного інтеграла.

1. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, тобто .

2. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції .

3. Невизначений інтеграл від диференціала функції дорівнює сумі функцій та довільної сталої, тобто .

6.3. Основні правила інтегрування.

1. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла: , де , .

2. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми, скінченної кількості функцій дорівнює алгебраїчній сумі невизначених інтегралів цих функцій: .

6.4. Таблиця основних інтегралів.

1. ; .

2. .

3. .

4. 

5. .

6. .

7. .

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

Наведені інтеграли називаються табличними.

6.5. Поняття інтегралів, що не виражаються елементарними функціями.

Математиками, доведено, що будь-яка неперервна функція має первісну , отже, невизначений інтеграл. Але первісна елементарної функції не завжди буде елементарною функцією. Існують прості елементарні функції, первісні яких не можна виразити скінченою комбінацією елементарних функцій.

Доведено, наприклад, що жоден із інтегралів: - інтеграл Пуассона; (інтеграл помилок) - інтеграл Френеля; - інтегральний синус і косинус. - інтегральний логарифм, не виражається елементарними функціями. Такі інтеграли іноді зустрічаються у практичній діяльності. Наприклад інтеграл являється основним в теорії ймовірності і статистиці. Їх обчислюють за допомогою рядів та методів наближених обчислень, які дозволяють з будь-якою точністю оцінити і обчислити їх.

6.6. Основні методи інтегрування.

6.6.1. Метод безпосереднього інтегрування.

Цей метод використовується при знаходженні інтегралів, які можна звести до табличних простими алгебраїчними перетвореннями, де користуються властивостями невизначеного інтеграла та правилами інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування також базується на рівності , де і - сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція має вигляд однієї з підінтегральних функцій табличних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування доданком або постійним множником або постійним множником та постійним доданком.

Приклад: Знайти інтеграли:

1)

У цьому випадку змінна інтегрування відрізняється від аргументу степеневої функції на постійний доданок 3. .

2)

У цьому випадку аргумент функції косинус відрізняється від змінної інтегрування на множник .

3)

У цьому випадку змінна інтегрування відрізняється від аргументу степеневої функції постійним множником 3 та постійним доданком . .

4) .

Під час знаходження цього інтегралу користувались властивостями невизначеного інтегралу, правилами інтегрування та таблицею інтегралів.

5) Заданий маргінальний доход фірми . Знайти функцію доходу та визначити відношення між вартістю одиниці продукції та проданою її кількістю.

Розв’язування: Функцію доходу фірми можна знайти інтегруванням маргінального доходу, тобто , де - постійна інтегрування.

Для знаходження використовуємо той факт, що доход повинен дорівнювати нулю, коли не продано жодної одиниці продукції, тобто при , маємо . Отже, функція доходу фірми має вигляд . Якщо вартість кожної одиниці проданої фірмою продукції і продали одиниць продукції, то доход буде .

Отже, маємо . Остання рівність описує потрібне відношення.