6.6.2. Метод підстановки (заміни змінної).

Заміна змінної інтегрування являється одним з самих ефективних методів зведення невизначеного інтеграла до табличного. Він ґрунтується на слідуючій теоремі:

Теорема: Нехай функція визначена і диференційована на деякому проміжку , а - множина значень цієї функції, на якій визначена функція . Тоді якщо функція має первісну на множині , то на множині справедлива формула .

Цю формулу називають формулою заміни змінної в невизначеному інтегралі.

Розглянемо використання цього методу на прикладах обчислення інтегралів.

Приклад:

1)

Після знаходження інтеграла потрібно повернутись до змінної .

Зауваження:

1. Якщо підстановка обрана вдало, то одержаний інтеграл буде простішим і мета підстановки буде досягнута.

2. Якщо підінтегральний вираз містить корінь вигляду , то доцільно застосовувати тригонометричну підстановку або .

Приклад: Знайти інтеграл

Розв’язування: Зробимо підстановку , тоді .

Одержимо:

Із рівності , одержимо .

Отже, .

6.6.3. Метод інтегрування частинами.

Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, причому хоча б одна з них є трансцендентною (не степеневою).

Нехай та деякі функції , тобто , . Розглянемо диференціал добутку цих функцій . Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо . Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо . Отже, одержимо формулу , яку називають формулою інтегрування частинами. Ця формула дозволяє знаходження інтегралу виду . При вдалому обранні та інтеграл може бути табличним або простішим ніж заданий інтеграл .

Приклад: Знайти .

.

Рекомендації до застосування методу інтегрування частинами.

При обранні та слід пам’ятати, що спрощення заданого інтеграла можливе за рахунок диференціювання функції .

В інтегралах виду:

доцільно обирати , а залишену частину підінтегрального виразу позначити .

В інтегралах виду: доцільно

обирати , а залишок підінтегрального виразу за .

В інтегралах:

, можна приймати за або .

Приклади: Знайти інтеграли:

1. .

2. 

Одержимо з утвореної рівності:

6.6.4. Інтегрування раціональних дробів.

Означення: Дріб називається раціональним, якщо його чисельник і знаменник є многочлени, тобто дріб має вигляд , де і - коефіцієнти многочленів, .

Раціональний дріб називається правильним, якщо , і неправильним, якщо . Якщо дріб неправильний, тоді потрібно поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержати заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного дробу, тобто .

Означення: Найпростішими раціональними дробами називають правильні дроби вигляду:

1. 

2. 

3. 

4. 

Умова означає, що квадратний тричлен не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Аналогічно з , де .

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів на прикладах.

Перші два типи інтегралів знаходять методом безпосереднього інтегрування:

1. .

2. 

При інтегруванні найпростішого дробу 3-го типу спочатку потрібно виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через одну змінну.

3. 

Знаючи формулу , даний інтеграл можна знаходити:

.

4. Інтеграл від найпростішого дробу 4-го типу шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дробу 3-го типу.

У повному курсі вищої алгебри доведена слідуючи теорема.

Теорема: Будь-який неправильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.

Отже, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегрування многочлена (при ) та суми найпростіших дробів, що визначаються коренями знаменника .

Можливі наступні випадки:

1. Корені знаменника дійсні і різні, тобто . В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу:

, з цієї тотожності знаходять невизначені коефіцієнти .

2. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто . Тоді дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го і 2-го типу , з цієї тотожності визначаються коефіцієнти .

3. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, тобто . В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го, 2-го, 3-го типів ; з цієї тотожності знаходять коефіцієнти та .

Приклад: Знайти

Розв’язування: Підінтегральна функція – це правильний раціональний дріб, знаменник якого містить квадратний двочлен, який не розкладається на множники та один дійсний корінь , тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го та 3-го типу:

Невідомі коефіцієнти будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності треба привести до спільного знаменника, одержимо:

Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні; , ця рівність можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однаковому степені в обох частинах рівності однакові, тобто:

Отже, розклад прийме вигляд:

Інтегруючи цю рівність, одержимо: