7.1.2. Класи інтегрованих функцій.

Відповідь на питання, від яких функцій існує визначений інтеграл дають слідуючі теореми, які ми приймемо без доведення.

Теорема 1: Якщо функція неперервна на відрізку , то вона інтегрована на ньому.

Теорема 2: Якщо визначена і обмежена на відрізку функція має скінчене число точок розриву, то вона інтегрована на цьому відрізку.

Теорема 3: Монотонна на відрізку функція інтегрована на цьому відрізку.

7.2. Основні властивості визначеного інтеграла.

1. Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто якщо - стала,

.

2. Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто для будь-якої функції .

3. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченої кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто .

4. Якщо поміняти місцями межі інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто .

5. Для будь-яких чисел і , де має місце рівність .

Будемо далі вважати, що .

6. Якщо функція всюди на відрізку , то .

7. Якщо на відрізку , то .

8. Якщо функція інтегрована на , то .

9. Якщо і - відповідно максимум і мінімум функція на відрізку , то .

10. Якщо , то .

7.3. Основна формула інтегрального числення.

Теорема 4: Неперервна на відрізку функція , має на цьому відрізку первісну. Однією з первісних являється функція .

В цій формулі змінна інтегрування позначена буквою , щоб уникнути плутанини з верхньою змінною межею.

Оскільки будь-яка інша первісна відрізняється від на сталу велечину, то зв’язок між визначеним і невизначеним інтегралами має вигляд , де . Підставляючи у попередню формулу , враховуючи властивість 2 визначеного інтеграла одержимо , звідки . Тоді маємо: . Покладаючи , одержимо формулу . Цю формулу називають основною формулою інтегрального числення, або формулою Ньотона-Лейбніца.

Рівність умовно записують символом , тобто .

Формула Ньотона-Лейбніца дає широкі можливості для обчислення визначених інтегралів.

Потрібно обчислити визначений інтеграл і потім знайти різницю значень первісних .

Розглянемо приклади обчислень визначених інтегралів:

Приклад 1: ;

Приклад 2: ;

Приклад 3: ;

Приклад 4: .

7.4. Основні правила інтегрування.

7.4.1. Заміна змінної у визначеному інтегралі.

Теорема 5: Нехай задано інтеграл , де неперервна на відрізку . Зробимо підстановку , де , де неперервно диференційована функція на відрізку .

Якщо:

1. При зміні від до змінна змінюється від до , тобто ;

2. Складна функція визначена і неперервна на відрізку , тоді має місце рівність .

Ця формула називається формулою заміни змінної або підстановки у визначеному інтегралі.

Помічаємо, що при обчисленні визначеного інтеграла за допомогою заміни змінної немає потреби повертатися до попередньої змінної, так як це робилось при обчисленні невизначеного інтеграла, тому що визначений інтеграл представляє собою число, яке відповідно попередній формулі дорівнює значенню кожного з розглядуваних інтегралів. Тепер при підстановці зразу потрібно знайти нові границі інтегрування і потім виконати необхідні перетворення підінтегральної функції.

Помічаємо також, що при заміні змінної у визначеному інтегралі необхідно врахувати умови теореми 5, інакше можна одержати неправильний результат (особливу увагу потрібно звертати на виконання умов 1 і 2).

Обчислити визначені інтеграли методом підстановки:

Приклад 1: .

Розв’язування: Виконаємо підстановку . Тоді , то то . Оскільки функція - неперервна на , то і нова функція також неперервна, значить всилу теореми 5 існує первісна на цьому відрізку. Одержимо .

Приклад 2:

;