- •Вступ Невизначений і визначений інтеграли.
- •Розділ 6. Невизначений інтеграл.
- •6.1. Первісна та її властивості.
- •6.2. Невизначений інтеграл і його властивості.
- •6.6. Основні методи інтегрування.
- •6.6.1. Метод безпосереднього інтегрування.
- •6.6.2. Метод підстановки (заміни змінної).
- •6.6.3. Метод інтегрування частинами.
- •Рекомендації до застосування методу інтегрування частинами.
- •6.6.4. Інтегрування раціональних дробів.
- •6.6.5. Інтегрування виразів, що містять ірраціональності.
- •6.6.6. Інтегрування деяких тригонометричних виразів.
- •6.6.8. Раціональна функція від .
- •Розділ 7. Визначений інтеграл.
- •7.1. Умови існування визначеного інтеграла.
- •7.1.1. Означення визначеного інтеграла.
- •7.1.2. Класи інтегрованих функцій.
- •7.2. Основні властивості визначеного інтеграла.
- •7.3. Основна формула інтегрального числення.
- •7.4. Основні правила інтегрування.
- •7.4.1. Заміна змінної у визначеному інтегралі.
- •7.4.2. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
- •7.5. Методи наближеного обчислення.
- •7.6. Геометричне застосування визначеного інтеграла.
- •7.6.1. Площа плоскої фігури.
- •7.6.2. Об’єм тіла обертання та площі поверхні тіла обертання.
- •7.8. Деякі застосування в економіці.
- •7.8.1. Витрати, доход та прибуток.
- •7.8.2. Коефіцієнт нерівномірного розподілу прибуткового податку.
- •7.8.3. Максимізація прибутку за часом.
- •7.8.4. Стратегія розвитку.
- •Питання для самоконтролю.
- •Вправи до розділу “Невизначений інтеграл”.
- •Використовуючи правила інтегрування та таблицю основних інтегралів, знайти інтеграли:
- •Обчислити інтеграли методом підстановки.
- •Обчислити інтеграли методом інтегрування частинами.
- •Використовуючи піднесення під диференціал обчислити наступні інтеграли.
- •Використовуючи невизначений інтеграл, розв’язати задачі економічного змісту.
- •Правила виконання і оформлення контрольних завдань.
- •Індивідуальне контрольне завдання по темі “Невизначений інтеграл”.
- •Вправи до розділу “Визначені та невласні інтеграли”.
- •Обчислити інтеграли:
- •Знайти площу фігури, обмеженої заданими лініями:
- •Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої слідуючими лініями:
- •Дослідити невласні інтеграли:
- •Індивідуальне контрольне завдання по темі “Визначені та невласні інтеграли”.
- •Рекомендована література.
7.8. Деякі застосування в економіці.
7.8.1. Витрати, доход та прибуток.
Нехай буде функцією загальних витрат на виробництво одиниць продукції, - функція маргінальних витрат яку називають гранично можливі витрати в умовах хоча би постійного відтворення виробництва відповідної продукції. Тоді визначений інтеграл дорівнює зміні загальних витрат при зростанні кількості виробленої продукції від до одиниць. Звідси випливає важливий наслідок:
Зміна виробничих витрат при зростанні виробленої продукції від до одиниць дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функцій маргінальних витрат , відрізком та прямими та .
Аналогічно, якщо та - функції маргінального доходу та прибутку відповідно, то зміни доходу та прибутку при зростанні реалізації виробленої продукції від до одиниць обчислюються за формулами .
Приклад: Функція маргінальних витрат фірми має вигляд . Знайти зростання загальних витрат, коли виробництво зростає з 1000 до 1500 одиниць.
Розв’язування: За формулою зростання загальних витрат буде
. Отже, витрати зростуть на 5500 гривень.
7.8.2. Коефіцієнт нерівномірного розподілу прибуткового податку.
Нехай є частина загального прибуткового податку пропорційна частині усього населення держави.
Наприклад, якщо , а , то це означає, що 50% населення сплачує 25% загального прибуткового податку.
Якщо , коли , то це означає, що 90% населення сплачує 70% прибуткового податку. У загальному випадку та - дробові частини цілого і є функцією , тобто .
Будемо вважати, що немає осіб, які не сплачують прибуткового податку, тобто і весь прибутковий податок сплачує 100% населення, тобто .
Графік функції , яка описує дійсний розподіл прибуткового податку, називають кривою Лоренца. Припустимо, що крива Лоренца задана рівнянням (див.рис.).
Коли , маємо . Це означає, що 20% населення сплачує 5% загального податку. Коли , маємо . Це означає, що 50% населення сплачує тільки 25,56% податку.
Коефіцієнтом нерівності розподілу податку кривої Лоренца називають відношення площі фігури, обмеженої кривою Лоренца та прямою (на рис. вона заштрихована) до площі фігури, що лежить нижче прямої (на рис. – це прямокутний трикутник: ). Коефіцієнт нерівного розподілу податку, що здійснюється за законом Лоренца, позначають .
Площа трикутника . Площу заштрихованої фігури одержимо з використанням визначеного інтеграла за формулою . Тому, згідно з означенням, коефіцієнт Лоренца обчислюють за формулою .
У випадку кривої Лоренца вигляду коефіцієнт нерівності розподілу податку буде
. Відмітимо, що коефіцієнт нерівності розподілу податку завжди задовольняє співвідношення . Коли , прибутковий податок розподілено рівномірно, коли , нерівномірність розподілу податків найбільша.
7.8.3. Максимізація прибутку за часом.
Нехай та - загальні витрати, доход та прибуток, що змінюються з часом, тобто залежать від часу . Тоді або . Максимум загального прибутку буде тоді, коли або . Іншими словами, існує такий час , коли , тобто швидкості зміни доходу та витрат рівні (див.рис.). Загальний прибуток за час можна знайти за формулою . З рис. бачимо, що максимум прибутку дорівнює площі між кривими та на проміжку (заштрихована частина).
Приклад: Швидкості зміни витрат та доходу підприємства після початку його діяльності визначилися формулами та , де і вимірювались роками. Визначити, як довго підприємство було прибутковим та знайти загальний прибуток, який було одержано за цей час.
Розв’язування. Оптимальний час для прибутку підприємства одержимо з умови : . Отже, підприємство було прибутковим 8 років. За цей час було одержано прибутку
(млн.грн.).