8.3. Форма спектральної лінії (класична фізика)

При відсутності зовнішнього випромінювання кількість атомів зменшується на рівні 2 згідно закону:

Розв’язавши це диференціальне рівняння, маємо:

(8.7)

По такому ж експотенціальному закону повинно зменшуватися з часом свідчення газу збуджених атомів. Радіаційне вгамування коливань класичного осцилятора формально описується таким же рівнянням. Нехай напруженість поля в хвилі, яка випромінюється затухаючим осцилятором, міняється за законом:

(8.8)

Знайдемо спектр випромінювання, причому для зручності обчислень врахуємо, що

.

(8.9)

Розглядаючи дійсну частину цієї функції бачимо, що вона має два максимуми в точках і . При максимуми дуже гострі і тільки в околі цих піків функція помітно відмінна від нуля. Це відноситься як до дійсної так і до уявної частини. Тому для в області позитивних частот, яка нас цікавить, вкладом другої складової у (8.9) можна знехтувати. В результаті для спектральної густини енергії випромінювання затухаючого осцилятора у випадку слабого вгамування знаходимо:

(8.10)

Форма спектральної лінії, що описується виразом (8.10) називається лоренцівським контуром (рис.8.5).

Рис.8.5. Форма спектральної лінії, яка описується лоренцівським контуром

Тобто поблизу частот власних коливань інтенсивність випромінювання зменшується вдвоє для частот, які відрізняються від на Звідси для ширини лінії на половині висоти знаходимо Це означає, що чим менша тривалість процесу випромінювання, тим ширший спектр частоти, тим більше розмитий рівень , що не суперечить принципу невизначенності Гейзенберга (лекція 2):

отже

Розглянутий приклад дозволяє оцінити зумовлену радіаційним затуханням ширину спектральних ліній випромінювання вільних атомів. Так як час життя збудженного стану складає близько с, то для природної ширини отримуємо Гц, що відповідає нм. Так як то таке світло називається квазімонохроматичним.

8.4.Коефіцієнт Айнштайна

Середнє число переходів з основного стану в збуджений за проміжок часу від до пропорційно числу атомів в основному стані:

(8.11)

де – коефіцієнт Айнштейна, – спектральна густина енергії поля.

Число вимушених переходів за проміжок часу від до пропорціонально спектральній густині енергії на частоті переходу, числу атомів у збудженому стані і деякому коефіцієнту , що характерезує ймовірність переходу. З врахуванням спонтанного випромінювання повне число переходів за із збудженого стану в основний рівне:

(8.12)

В стані термодинамічної рівноваги необхідно прирівняти праві частини виразів (8.11) і (8.12) та врахувати, що населеності рівнів і зв’язані співвідношенням Больцмана:

(8.13)

Отже

(8.14)

При (дуже висока ) Отже Коефіцієнти і залежать тільки від властивостей атома і не залежать від зовнішніх умов. Тому рівність отримана при , справедлива завжди, в тому числі і при відсутності теплової рівноваги. При довільній температурі з врахуванням того, що , з рівності (8.14) отримуємо:

або:

. (8.15)

Цей вираз співпадає з формулою Планка при Таким чином всі три коефіцієнти Айнштайна () зв’язані між собою, причому