Лекція 9 Ймовірності вмушеного випромінювання та поглинання

9.1. Поглинання і вимушене випромінювання.

Для обчислення ймовірностей поглинання і вимушеного випромінювання будемо використовувати напівкласичний підхід для опису взаємодії випромінювання з речовиною. В такому підході атомна система передбачається квантовою ( і, отже, описується законами квантової механіки), а електромагнітне поле падаючої хвилі описується класичним методом (тобто з допомогою рівняння Максвела). Спочатку розглянемо поглинання. Розглянемо звичайну двохрівневу систему і виразимо власні функції двох станів як і Допустимо, що електромагнітна хвиля починає взаємодіяти з атомои в момент часу Отже, в даний момент атом часу може бути описаний власною функцією Гамільтоніан атома можна записати у вигляді:

, (9.1)

де: – гамільтоніан атома при відсутності ЕМ-поля, а - гамільтоніан, що описує взаємодію атома з ЕМ-хвилею.

Для стаціонарних станів маємо:

(9.2)

Щоб обчислити хвильову функцію атома в будь який момент часу, необхідно розв’язати нестаціонарне рівняння Шрединґера:

(9.3)

З врахуванням впливу ЕМ-хвилі хвильову функцію атома можна записати у вигляді:

(9.4)

де i – залежні від часу комплексні змінні.

В квантовій механіці постулюється, що коефіцієнти і дають ймовірності того, що в момент часу атом буде знаходитися відповідно в стані 1 або в стані 2.

Це підтверджується тим, що оскільки а хвильові функції і ортогональні, то

В загальному випадку, коли розглядаємо багаторівневу систему замість (12.3), треба писати: .

Підставимо (9.4) в (9.3), внаслідок отримаємо (дальше над оператором Гамільтона ми не будемо ставити “дашок”):

або

(9.5)

Враховуючи (9.2), (9.5) приводиться до виду:

, (9.6)

тут

Помножимо обидві частини рівняння (9.6) послідовно на і , проінтегруємо по об’єму. Оскільки тобто і ортогональні , то рівняння розпадеться на два рівняння:

(9.7)

,

і які повинні розв’язуватися при початкових умовах (ми розглядаємо поглинання). До цих пір ми не робили ніяких наближень. Щоб спростити процедуру розв’язку рівнянь (9.7) скористаємося методом збурень. Допустимо, що в правій частині рівнянь (9.7) можна наближено написати: Після цього знайдемо і . По цій причині ця теорія називається теорією збурення першого порядку. Розв’язки отримані таким чином і підставимо у праву частину рівнянь (9.7), щоб найти наближення другого порядку і т.д. Отже, в наближенні першого порядку рівняння (12.7) запишуться у вигляді:

(9.8а)

(9.8а)

Щоб обчислити ймовірність переходу достатньо розв’язати лише (9.8б). Для цього допустимо, що падаюча ЕМ-хвиля описується синусоїдою з частотою . Таким чином можна написати:

(9.9)

Підставляємо (9.9) в (9.8б) і проінтегруємо по часу

(9.10)

Ми бачимо, що при перший член в фігурних дужках набагато більший ніж другий, тому можемо написати:

(9.11)

Таким чином:

(9.12)

На рис.9.1 показана функціяв залежності від Видно, що при збільшенні часу відповідна крива стає більш вузькою і більшою по величині. З математики відомо, що

Для достатньо великих часів : (Через позначена –функція Дірака). Звідси отримуємо:

(9.13)

Рис. 9.1. Функція в залежності від

Цей вираз показує, що для достатньо великих інтервалів часу ймовірність знайти атом в момент часу на рівні 2 пропорціональну самому часу. Отже, ймовірність визначається виразом:

(9.14)

Для остаточного визначення ми повинні обчислити величину . Якщо допустити, що перехід викликається взаємодією між електричним полем ЕМ–хвилі і електричним дипольним моментом атома (електрична дипольна взаємодія), то можна написати:

(9.15)

– заряд електрона, – його координата .

Для спрощення допустимо, що початок нашої системи відліку () співпадає з атомним ядром. Таким чином:

(9.16)

Довжина хвилі, що випромінюється чи поглинається атомом, набагато більша розмірів атома , розмір атома . Тому можна винести з під знаку інтегралу і використати її значення в точці , тобто в центрі ядра (електричне дипольне наближення). Таким чином:

. (9.17)

Тоді з виразів (9.15), (9.6), (9.17) маємо:

де величина

(9.18)

називається матричним елементом електричного дипольного моменту. Якщо через позначити кут між вектором і , то

(9.19)

Якщо ЕМ – хвиля взаємодіє з декількома атомами, вектори орієнтовані відповідним чином відносно вектора , то середнє значення величини отримується усередненням виразу (9.19) по всіх можливих значеннях Відомо, що коли будь-який з кутів рівноймовірний, то отже:

(9.20)

Проте можна також ввести поняття

Замість того, щоб функцію записувати через зручніше представити її у вигляді функції інтенсивності падаючої електромагнітної хвилі. Для плоскої хвилі маємо:

(9.21)

де – показник заломлення атомної системи, – швидкість світла у вакуумі, – діелектрична стала вакууму.

З (9.14), (9.20), (9.21) остаточно отримуємо:

. (9.22)

Корисно мати вираз для в залежності від густини енергії падаючого електромагнітного випромінювання. Оскільки то з (9.21) і (9.22) отримуємо:

. (9.23)

Результати згідно формул (9.22) і (923) в нас не дуже сприйнятливі, оскільки в цих формулах присутня – дельта-функція Дірака, згідно якої коли Фізично так не може бути тому, що реальні атоми рухаються, зіштовхуються між собою, що міняє напрям руху атома та може змінити його енергетичний стан, тому не може бути великим, як ми прийняли у формулі (9.13). У цьому випадку когерентна взаємодія порушується. В системі відліку, зв’язаній з атомом, у нас буде не монохроматична хвиля з частотою , а буде така, як намальовано на рис.9.2, очевидно спектр такого випромінювання буде відмінний від дельта-функції Дірака.

В тому випадку, якщо для інтенсивності хвилі в частотному інтервалі від до написати співвідношення , то з (9.22) можемо написати:

(9.24)

Середній час між зіткненнями В такому випадку де –інтенсивність хвилі, а рівна:

(9.25)

– частота сигналу синусоїдальної частини (рис.9.2). Для справедливе співвідношення:

(9.26)

Рис. 9.2. Часова залежність електричного поля електромагнітної хвилі в системі координат атома, що зіштовхується з іншими атомами

Підставивши (9.25) в (9.24) з врахуванням, що маємо:

(9.27)

де Таким чином, ми отримали вираз аналогічний (9.22), але функція замінена на функцію , яка показана на рис. 9.3. Цю криву називають лоренцівcькою кривою. Вона має максимум при Повна ширина кривої між точками, що відповідає половині максимального значення, рівна

Рис.9.3. Лоренцівська крива

В загальному випадку ймовірність завжди можна записати у вигляді виразу:

(9.28)

де – нормована функція, конкретний вигляд якої залежить від механізму розширення ліній. Вираз (9.28) можна переписати через густину енергії хвилі:

(9.29)

Розрахунок ймовірності вимушеного випромінювання виконують аналогічним чином, починаючи з рівняння (9.7) та використовуючи початкові умови: . Отримуємо подібниі співвідношення, виведені для поглинання, лише індекси будуть переставлені 1 2; 21. Оскільки з (9.18) випливає, що , то отримаємо:

. (9.30)

Це говорить про те, що ймовірність поглинання і випромінювання рівні одна одній. Отже:

З рівняння (9.29) випливає, що , коли А це буде в тому випадку, як випливає з (9.18), якщо функції i або обидві симетричні відносно або обидві антисиметричні. Якщо і то замінюючи знак на маємо:

Звідси випливає, що і є власними функціями оператора одним і тим же власним значенням . Таким чином, якщо симетричний, його власні функції повинні бути або симетричними або антисиметричними Для ізольовано атома иметричний. Для гармонічного осцилятора – симетричний, тому –симетрична, – антисиметрична, – симетрична і так далі (лекція 3).

В кристалі симетрія порушується за рахунок внутрішнього поля кристалу. Якщо то відповідний перехід називається забороненим в наближені електричної дипольної взаємодії. Але це не означає, що атом не може переходити з рівня 1 на рівень 2 під дією падаючої електромагнітної хвилі. В цьому випадку перехід може пройти в результаті взаємодії між магнітним полем хвилі і магнітним дипольним моментом атому. Очевидно, що величина тепер буде іншою. Необхідно сказати, що магнітні дипольні переходи дозволені між станами з однією і тією ж парністю (між двома парними або двома не парними станами). де – амплітуда магнітного поля електромагнітної хвилі, – магнітон Бора (А·м²). – радіус атома, – швидкість світла. Для отримання цього числового результату ми використали той факт, що для плоскої хвилі , і допустили, що Ми бачимо, що ймовірність електродипольного переходу набагато більша ймовірності магнітодипольного. Це, по суті, обумовлено тим, що енергія електродипольної взаємодії набагато переважає енергію магнітодипольної взаємодії.