Лекція 10 Спонтанне випромінювання та зв’язок між коефіцієнтами Айнштайна

13.1. Спонтанне випромінювання.

Напівкласичне наближення не дозволяє точно передбачити і зрозуміти явище спонтанного випромінювання. Для цього потрібен повністю квантовий підхід. Якщо розв’язати цю задачу з використанням квантового підходу до ЕМ – поля і до атома, то ми найдемо, що час життя верхнього рівня (рівня 2), характерний час, який ще називають спонтанним (радіаційним ) часом життя рівня 2:

(10.1а)

де визначається за формулою (9.18) лекції 9, – діелектричність середовища, – показник заломлення середовища. Проте досить часто важко розрахувати теоретично, але його можна виміряти експериментально, і, отже, можна розрахувати за значенням експериментально виміряного . Таким чином:

(10.1б)

(10.1в)

Ймовірність спонтанного випромінювання рівна:

. (10.2)

Вирази (9.29) і (9.30) ми можемо переписати, виразивши через згідно (10.1б), у такій формі:

Відмітимо, що росте як куб частоти і, отже, вклад спонтанного випромінювання в загальне випромінювання швидко росте з частотою. В мазерах (НВЧ діапазоні) цей процес дуже малий, в той час як в лазерах (тобто в оптичному діапазоні) цей процес дуже суттєвий. В оптичному діапазоні порядок величини можна оцінити, вважаючи наприклад, що см, і де – атомний радіус (см). Таким чином отримуємо с^-1. Для магнітних дипольних переходів приблизно в 10⁵ разів менше, тобто складає приблизно с^-1.

10.2. Зв’язок між коефіцієнтами і.

В лекції 8 було виведено співвідношення між коефіцієнтами з точки зору термодинаміки і доказано, що

(10.3)

Співвідношення (10.3) показує, що ймовірністі поглинання і вимушеного випромінювання, зумовлені випромінюванням чорного тіла, рівні одне одному. Це співвідношеня аналогічно тому, що було встановлено зовсім іншим шляхом для випадку монохроматичного випромінювання (див. (9.30) лекції 9). Співвідношення (10.3) дозволяє обчислити коефіцієнт коли коефіцієнт відомий і навпаки. Коефіцієнт не важко знайти з виразу (9.29), яке справедливе для монохроматичного випромінювання. Густина енергії випромінювання чорного тіла, частота якого знаходиться в межах від до , можна записати як . Якщо допустити, що таке випромінювання замінюється монохроматичною хвилею такої ж потужності, то відповідна елементарна ймовірність переходу отримується з виразу (9.29) заміною на . Інтегруючи цей вираз в припущенні, що в межах неміняється, і можна винести з під знаку інтегралу з врахуванням (9.26), отримуємо:

(10.4)

отже (10.5)

З формули (10.3) знаходимо:

(10.6)

що співпадає з виразом (10.2).

Відмітимо, що проведений розрахунок є коректним з точки зору квантової електродинаміки, оскільки в ньому використано тільки термодинвмічний підхід (лекція 8). Представляється цікавим дослідити спектральний склад (спонтанного) випромінювання. Для цієї мети визначимо коефіцієнт таким чином, що вираз дасть число атомів в одиницю часу, які в процесі релаксації випромінюють фотон з частотою, що лежить в інтервалі . Очевидно, що

(10.7)

Аналогічно визначимо спектральний коефіцієнт таким чином, що дає число переходів в одиницю часу, індукованих випромінюванням чорного тіла, і які мають частоту в інтервалі . Таким чином можна записати:

Поступаючи як в лекції 8 отримуємо:

(10.8)

З іншої сторони, коефіцієнт можна обчислити з виразу (9.29), якщо розглядати як коефіцієнт вимушеного випромінювання для монохроматичної хвилі. Таким чином з формул (9.29) і (10.5) маємо:

(10.9)

а з (10.8) маємо:

(10.10)

Остання формула показує, що спектр спонтанного випромінювання також описується функцією , іншими словами, це та ж сама функція, що і у випадку поглинання чи вимушеного випромінювання. З (10.10) слідує нова інтепритація функції : дає ймовірність того, що частота спонтанно або вимушеного випромінювання находиться в інтервалі    + d. Очевидно, що