6. Плотность электронных состояний.

Эл-ны в ТТ подчиняются законам статистики (квантовой).

Плотность электронных состояний в ЗП:

Z – кол-во энерг-их состояний.

Для простоты возьмем кубический кристалл

- приращение объема в пр-ве имп-ов.

Принцип неопределённости Гейзенберга:

Δk=1

Примем ΔV=ΔxΔyΔz=1, то 1 электрон в пр-ве имп-ов может занять объем (минимум).

, 2 появилась вследствие того, что на

одном ЭУ может нах-ся 2 эл-на с противополож. спинами.

Видим, что N(E) ~ √¯E. Аналогично можем получить пл-ть эл. состояний для вал. зоны.

(для эл-ов энергия отсчитывается вверх от E_c , для дырок - вниз от E_v ).

m_p^* как правило > m_n^*.

Для несимметричных кристаллов ф-лы будут подобны(например вместо сферы расм-ся эллипсоид. Электроны как квантовые частицы подчиняются ст-ке Ферми-Дирака.

7. Функция Ферми-Дирака

Она описывает пов-е эл-ов в ТТ, Вероятнасть того, что эл-он обл. данной Е при данной Т.

F- уровень Ферми. Будем считать, что T = 0, f зависит от интервала Е.

. Все ЭУ при 0 К ниже ур.Ферми зап-ны

.Все ЭУ при 0 К выше ур.Ферми своб.

Ур. Ферми – Это максимальная энергия эл-ов в металле в температуре абс. 0 (в п/п ур. Ферми попадает в запр. зону).

При Т>0 за счет терм-го возб-я эл-н будет приобретать доп. Е и он будет повышать свой ЭУ. Происходит «разлиные» ф-ции Ферми-Дирака.

Ур. Ферми – это ЭУ, вер-ть заполнения которого = 0.5 при Т ≠ 0 (опр-е и для металлов и для п/п). Можно убедится, что на границах диап-на энергий. F = ± kT вер-ты будут соотв. 0,97 и 0,03. kT = 0,025 эВ.

Это ф-ия Ф-Д для эл-ов f_n. Аналогичная ф-ия для дырок строится на основании статистики дырок.

(вер-ть того, что на уровне есть эл-ны = 1 – вер-ть того, что на нём есть дырка.)

если ехр >> 1, то можем пренебречь 1.

Получили распределение Максвелла-Больцмана ч-ц по энергии. При ехр >> 1 говорят, что электронный газ в п/п невырожденный. Иначе –вырожденный (это вом-но, если F близок к Ec или Еv). Для вырожденных п/п зав-ть n(T) подобна металлам (не меняется), а для п/п она меняется ехр-но с Т.

8. Концентрация эл-ов и дырок в зонах.

Концентрация эл-ов в ЗП:

(Верхний предел можем выбрать ∞-ым т.к. функция Ферми-Дирака быстро спадает).

Приведенный ур. Ферми

Приведённая энергия

Интеграл Ферми:

Вводят новую переменную так, чтобы

N_c – Эффективная плотность состояний в ЗП

Аналогичные рассуждения и для дырок:

Пользуются приближениями (невырожденный полупроводник) и (вырожденный).

9. Концентрация носителей заряда в невырожденном проводнике.

Невырожденные – озн., что n зависит от Т, если не зависит – вырожденные. Для невыр. уровень Ферми находится в запрещенной зоне. Для невыр. полупроводников:

(табличный интеграл)

Нас интересует зависимость n(T) (F также зависит от T).

Для дырок в валентной зоне

N_v – эф. плотность сост. в ВЗ, E_v – потолок ВЗ.

n/N_c всегда < 1, следовательно ln<0. Чем выше n, тем ближе F будет к дну ЗП E_c. Аналогично для дырок

F находится выше E_v, причем, чем выше p, тем ближе F к потолку E_v. В зависимости от того, к какому уровню ближе F, E_c или E_v, соотношения между n и p будут разными.

Если n=p, то (т.е. для собственного полупроводника)

– середина запрещенной зоны. При T=0 в собственном полупроводнике F находится в середине запрещенной зоны.

При положение F не зависит от T. Но, как правило, , следовательно F поднимается с ростом T.

Если считать, что n=p=n_i, то получим:

В любом полупроводнике:

(соотношение Эйнштейна)

Концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике:

Собственный полупроводник (n=p=n_i)

Площадь заштрихованной области соответствует n или p.

Для полупроводника n-типа:

В полупроводнике n-типа:

N_d – концентрация атомов донорной примеси (кот. даёт 1 электрон)

n<<p, но

В полупроводнике n-типа n>>p

Для металлов все уровни, ниже F, заполнены, а все, которые выше – свободны.

Для полупроводника р-типа: