- •Дніпродзержинський державний технічний університет Конспект лекцій
- •Передмова
- •Лекція 1 Введення і основні поняття
- •Гіпотези, принципи, спрощення
- •2. Сили в опорі матеріалів
- •3. Визначення внутрішніх сил, метод перерізів
- •4. Поняття про напруження
- •5. Поняття про деформацію матеріалу
- •Контрольні питання:
- •Лекція 2 Розтяг і стиск
- •1. Поняття про розтяг і стиск
- •2. Епюри поздовжніх сил
- •3 DA . Напруження при розтягу (стиску)
- •4. Визначення напружень на похилих площадках
- •5. Деформації при розтягу (стиску)
- •6. Закон Гука
- •А) Характеристики міцності матеріалу
- •Б) Характеристики пружності матеріалу
- •В) Характеристики пластичності матеріалу
- •2. Діаграма стиску
- •3. Вплив різних факторів на механічні властивості матеріалів
- •Вплив температури
- •4. Розрахунок на міцність при розтягу (стиску)
- •2. Кручення бруса круглого перерізу. Закон Гука при крученні
- •3. Напруження і деформації при крученні
- •4. Розрахунок валів на міцність та жорсткість
- •2. Поперечні сили і згинальні моменти.
- •3. Приклади побудови епюр q і m для балок.
- •4. Диференційні залежності при згині.
- •5. Висновки з диференційних залежностей. Особливості епюр q і m.
- •7.Дотичні напруження при згині.
- •8. Розрахунок на міцність при згині
- •10. Диференційне рівняння зігнутої осі балки
- •2. Формула Ейлера для визначення Ркр стиснутого стержня
- •3. Вплив умов закріплення стержня на величину критичної сили
- •4. Визначення критичних напружень
- •5. Межі придатності формули Ейлера
- •6. Розрахунок стержнів на стійкість за границею пропорційності
- •7. Розрахунок на стійкість з використанням коефіцієнта поздовжнього згину
- •2 DA . Моменти інерції плоских фігур
- •3. Моменти опору
- •4. Радіуси інерції
- •5. Залежність між моментами інерції при паралельному переносі осей
- •Контрольні питання:
- •Список літератури:
- •Навчальне видання
7.Дотичні напруження при згині.
Дотичні напруження при згинанні визначаються за формулою Журавського
(13)
Формула виведена для прямокутного профілю. Дає добрі результати для прямокутних перерізів з . Але нею можна користуватися для будь-яких інших профілів, крім тонкостінних ділянок, паралельних нейтральній лінії (полиці двотаврів, швелерів і т. п. )
8. Розрахунок на міцність при згині
Розглянемо балку, навантажену довільною системою, сил і проаналізуємо, в якому напруженому стані знаходяться елементи балки. Умови міцності:
|
(14) |
|
(15) |
Практика показує, що найбільш небезпечною є крайня точка, того перерізу, де .Тому основною умовою міцності буде
. (16)
Розрахунок балки з урахуванням тільки нормальних напружень називають основним.
Розрахунок балки з урахуванням як нормальних, так і дотичних напружень, тобто за умовами (14), (15) і (16) називають повним розрахунком.
Повний розрахунок проводиться для коротких балок, навантажених великими поперечними силами.
Порядок перевірочного та проектного розрахунку балки:
1) Будуємо епюру згинальних моментів і визначаємо небезпечний переріз, де діє .
2) За таблицями або обчисленням знаходять момент опору поперечного перерізу , відносно нейтральної лінії
3) Використовуємо основну умову міцності та перевіряємо балку
.
Для проектувального розрахунку .
Контрольні питання:
-
Які напруження виникають при згині і як вони визначаються?
-
Закон Гука при згині.
-
Основні засади розрахунків на міцність при згині.
Лекція 7
Згин (закінчення)
9. Про раціональну форму поперечного перерізу.
Раціональним є профіль, який забезпечує високу міцність за малої ваги балки.
Момент опору – пропорційний міцності балки, площа перерізу – пропорційна вазі балки. Тому параметр характеризує раціональність профілю з точки зору його роботи на згин.
Розглянемо, якими повинні бути раціональні перерізи.
Середня частина балки, близька до нейтральної лінії, навантаження майже не несе, а створює зайву вагу. |
Тому раціональними будуть перерізи, в яких більша частина матеріалу віддалена від нейтральної лінії.
Важливу роль відіграє орієнтація перерізу – момент опору відносно нейтральної лінії повинен бути найбільшим.
Для крихких матеріалів використовують несиметричний профіль, при цьому його орієнтують так, щоб напруження розтягу були менші напружень стиску.
Нераціональними є перерізи, що мають в найбільш віддалених від нейтральної лінії місцях гострі, вузькі частини.
10. Диференційне рівняння зігнутої осі балки
Викривлену вісь балки називають зігнутою віссю або пружною лінією.
Переміщення центра ваги перерізу в напрямі, перпендикулярному до недеформованої осі балки, називаються прогином балки в даному перерізі . , коли прогин вверх. Найбільший прогин балки називається стрілою прогину – .
Довжина балки лишаться незмінною. Кут, на який повертається переріз відносно свого початкового положення, називається кутом повороту перерізу. , коли поворот перерізу проти годинникової стрілки.
; .
Для визначення прогину в довільному перерізі потрібно мати рівняння пружної лінії:
.
Оскільки поперечні сили мало впливають на кривизну балки, то для поперечного згину ми можемо використати закон Гука, одержаного для чистого згину.
. (17)
З курсу вищої математики відоме рівняння кривизни плоскої кривої:
. (18)
Оскільки за прийнятих правил знаків праві частини рівнянь (17) і (18) мають однаковий знак, то залишаючи в (18) знак плюс і прирівнюючи праві частини, одержимо точне рівняння пружної лінії балки
(19)
Рівняння (19) для малих деформацій балки можна спростити, оскільки кути дуже малі. . Таким чином, можна прийняти, що . В результаті рівняння (19) матиме вигляд:
(20)
Це рівняння називається основним диференційним рівняння пружної лінії балки. Інтегруючи рівняння, одержимо вирази для кута повороту перерізу і прогину:
(21)
Сталі і визначаються з умов закріплення балки
Приклад
Визначити |
|
При . ; ; При . ; |
. ; . В т. А .
|
Метод безпосереднього інтегрування достатньо раціональний, оскільки у багатьох випадках достатньо і треба визначити тільки максимальний прогин та кут повороту, щоб порівняти з допустимими (умова жорсткості).
Контрольні питання:
-
Які існують раціональні форми перерізу при згині?
-
В чому суть безпосереднього інтегрування диференційного рівняння зігнутої вісі балки?
Лекція 8
Стійкість стиснутих стержнів
1. Поняття про стійкі і нестійкі форми рівноваги
Рівновага твердого тіла буває стійкою, нестійкою і байдужою. Пружна рівновага деформованого тіла є стійкою, коли після довільно малого відхилення від стану рівноваги тіло намагається повернутися у початковий стан. Пружна рівновага є нестійкою, коли тіло продовжує деформуватися у напрямку наданого йому відхилення.
Між стійким і нестійким станом рівноваги існує перехідний, так званий критичний стан, у якому тіло може зберігати і початкову форму рівноваги і відхилятися від неї. Йому відповідає значення сили Ркр.
При – стійка прямолінійна форма тіла. Стержень, відхилений від вертикального положення силою , повертається до нього, якщо силу усунути.
При – байдужий стан. Стержень, виведений із прямолінійної форми, може повернутися до неї, але може також залишитися злегка зігнутим, коли сила перестане діяти.
При – прямолінійна форма рівноваги не зберігається, стержень набуває нової криволінійної форми рівноваги або руйнується.
Найменша стискувальна сила, при якій прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою, називається критичною.
При напруження в стержні менші границі текучості і тим більше границі міцності, але досягання рівносильне руйнуванню конструкції, яке відбувається раптово без попередніх ознак і тому є небезпечним, оскільки немає можливостей прийняти запобіжні заходи.
Згин стержня, що відбувається після втрати стійкості його прямолінійної форми під дією осьових стискувальних сил, називається поздовжнім згином.