5. Межі придатності формули Ейлера

При виведенні формули Ейлера величину критичної сили визначали, використовуючи рівняння пружної лінії балки. Тому формула Ейлера справедлива в межах дії закону Гука тобто, коли , де -- границя пропорційності матеріалу. З врахуванням (11) запишемо ; звідси:

Введемо поняття граничного значення гнучкості . Остаточно отримаємо умову придатності формули Ейлера: .

Формула Ейлера придатна для стержнів, гнучкість яких більша граничного значення.

Для мало вуглецевої сталі ; ; .

Значення для різних матеріалів обчислюється за даними довідників.

6. Розрахунок стержнів на стійкість за границею пропорційності

Функція (8) описує гіперболу. Формула Ейлера справедлива для стержнів, у яких гнучкість . Для мало вуглецевої сталі .

Для стержнів, у яких , , тобто вони втрачають стійкість за границею пропорційності. Розрахунок за формулою Ейлера дає завищені результати. Використання її небезпечне за своїми наслідками.

Ясинський запропонував емпіричну формулу для визначення , які перевищують :

. (9)

Коефіцієнти і залежать від матеріалу і знаходяться за довідниками.

Для сталі Ст.3 а=310, b =1,14 (МПа), для дерева а=29,3; b =0,194 (МПа). Для чавуну .

Очевидно, що не можна допустити, щоб напруження в стержні перевищувало для пластичних матеріалів і для крихких матеріалів, оскільки у цьому випадку не буде виконуватися умова міцності. Значення , при якому , позначимо . З формули (1) випливає . Для мало вуглецевої сталі , .

Класифікація стержнів:

1. Стержні малої гнучкості () розраховуються тільки на міцність.

2. Стержні середньої гнучкості () розраховуються на стійкість за формулою Ясинського.

3. Стержні великої гнучкості () розраховуються на стійкість за формулою Ейлера.

7. Розрахунок на стійкість з використанням коефіцієнта поздовжнього згину

Умови стійкості :

або ,

де – допустиме напруження на стійкість, -- допустима стискувальна сила.

Допустиме напруження на стійкість менше, чим допустиме напруження на стиск , оскільки на стійкість стержня суттєво впливає його початкова кривизна, неоднорідність, ексцентриситет навантаження тощо.

Слід зауважити, що перед проведенням розрахунку необхідно переконатися, що для даного стержня можна використовувати формулу Ейлера, тобто, що його гнучкість більша граничної.

Відношення допустимих напружень . Звідси .

Величину називають коефіцієнтом зниження основного допустимого напруження або коефіцієнтом поздовжнього згину. Коефіцієнт залежить від матеріалу і гнучкості стержня. Його значення наведені в таблицях. Умова стійкості приймає вигляд

(10)

Гнучкість стержня залежить від поперечного перерізу на всій довжині стержня і тому місцеві послаблення (отвори, вирізи і т.д.) на стійкість стержня в цілому не впливають. Тому в формулі використовується площа «брутто».

Види розрахунків:

Перевірний розрахунок. Задано: розміри і форма поперечного перерізу, сила Р, умови закріплення кінців стержня. Перевірити на стійкість.

1. Визначаємо і , ,.

2. За таблицями в залежності від матеріалу і знаходимо , для заданого матеріалу обчислюємо .

3. Перевіряємо виконання умови

Проектувальний розрахунок. Задано: навантаження F, довжина стержня , форма перерізу, матеріал, умови закріплення. Підібрати поперечний переріз.

Оскільки залежить від розмірів поперечного перерізу, які ще невідомі, використовуємо метод послідовних наближень.

1) Задаємося значенням

2) З умови стійкості визначаємо

Підбираємо переріз з необхідним профілем і визначаємо для нього і розраховуємо .

3) За визначаємо для підібраного профілю. Якщо відрізняється від , визначаємо .

4) Знову підбираємо А, визначаємо фактичне значення . Якщо відрізняється від знаходимо .

Як правило, після 2-3 спроб досягаємо, що . Допускається відхилення 5%.

Профіль підібрано.

Контрольні питання:

1. Які існують форми рівноваги.

2. Вплив умов закріплення стержня на величину критичної сили.

3. Формула Ейлера та межі її застосування.

4. Розрахунок на стійкість з використанням коефіцієнта поздовжнього згину

5. Суть проектувального розрахунку на стійкість.

Лекція 9

Геометричні характеристики плоских фігур

1. Статичний момент площі. Центр ваги площі

Н

dA

ехай , - статичні моменти елементарної площі dA відносно осі і осі Y.

Статичні моменти площі A відносно осі і осі Y:

(1)

Якщо С - центр ваги площі, а - координати центра ваги, статичні моменти площі A можна визначити за формулами . Звідси координати центра ваги

. (2)

Статичний момент площі відносно центральних осей (осей, що проходять через центра ваги) дорівнює 0. Розмірність . Момент Ѕ може бути додатним або від’ємним в залежності від знака координати центра.

Приклад 1

а

a)

)

Приклад 2

б) 0=0,

б)

.

У випадку складної фігури, яку можна розбити на кілька простих, статичний момент усієї фігури дорівнює алгебраїчній сумі статичних моментів її складових.

Приклад 3