2 DA . Моменти інерції плоских фігур

а) Осьові (екваторіальні) моменти інерції

Осьові моменти інерції елементарної площі dА

; .

Осьові моменти інерції:

. (3)

Осьові моменти інерції може бути лише додатними. розмірність - м⁴.

б) Полярний момент інерції відносно точки (полюса). Полярним моментом інерції площі А відносно полюса О називається інтеграл виду

. (4)

;

Отже, полярний момент інерції завжди дорівнює сумі осьових моментів інерції.:

в) Відцентровий момент інерції фігури.

. (5)

Відцентровий момент інерції може бути як додатнім так і від’ємним. Якщо відцентровий момент інерції відносно якоїсь пари координатних осей дорівнює нулю, то такі осі називаються головними осями інерції. Осьові моменти інерції, обчислені відносно головних осей, називаються головними моментами інерції. Головні осі, які проходять через центр ваги фігури, називаються головними центральними осями інерції.

3. Моменти опору

Моментом опору називаються величини

; (6)

. (7)

4. Радіуси інерції

Зручно осьові моменти інерції подавати як добутки

, ,

де , радіуси інерції. Тоді:

, . (8)

5. Залежність між моментами інерції при паралельному переносі осей

Нехай маємо фігуру площею А. При цьому всі геометричні характеристики цієї фігури відносно осей у, z нам відомі (, , , , , А). Потрібно обчислити моменти інерції площі А відносно нових осей у₁, z₁, відповідно паралельних вихідним осям і віддаленим від них на відстані а та с.

Згідно з означенням осьові та відцентровий моменти інерції площі А відносно осей у₁, z₁ знаходять за виразами (3), та (5):

, , (9)

,

де ; . (10)

Підставляючи (10) у (9) і замінюючи інтеграли від суми на суми інтегралів, маємо

(11)

Зробивши перетворення остаточно маємо вираз (11) вигляді

(12)

Найчастіше доводиться мати справу з вихідними центральними осями , відносно яких статичні моменти площі дорівнюють нулю. Тоді

(13)

де z_с, у_с – координати центра ваги фігури в новій системі координат yОz.

Приклад 4

; ; ,

,

,

.

Тут враховано, що відносно осей симетрії

.

Для прокатних профілів, використовуваних у техніці, усі геометричні характеристики перерізу задаються спеціальними таблицями стандарту. З цих таблиць можна дістати значення площі головних моментів інерції, радіусів інерції, розміщення головних центральних осей тощо. Користуючись формулами паралельного перенесення завжди можна визначити положення головних осей та головні моменти інерції складних плоских фігур, що складаються з кількох простих, для яких усі геометричні характеристики відомі.

Контрольні питання:

1. Що називається статичним моментом площі?

2. Що називається моментами інерції площі: осьовим, відцентровим і полярним?

3. Що називається радіусом інерції? Його розмірність.

4. Зв’язок між моментами інерції відносно двох довільних паралельних осей.