2. Кручення бруса круглого перерізу. Закон Гука при крученні

Розглянемо брус, що навантажено крутним моментом М, в результаті перерізи повернуться один щодо одного навколо його подовжньої осі на деякий кут , який є повним кутом закручування на ділянці завдовжки l. Відношення повного кута закручування на елементарній ділянці бруса до довжини dx називається відносним кутом закручування, який позначається:

Якщо розміри поперечних перерізів прямого бруса крутні моменти, що діють в них, на деякій ділянці бруса постійні, то значення також постійно і рівно відношенню повного кута закручування на цій ділянці до його довжини, тобто .

Теорія кручення брусів, що мають круглий суцільний або кільцевий поперечний переріз, заснована на наступних положеннях.

1. Поперечні перерізи бруса, плоскі і нормальні до його осі до деформації, залишаються плоскими і нормальними до неї і після деформації (гіпотеза плоских перерізів); вони лише повертаються на деякі кути навколо цієї осі.

2. Радіуси поперечних перерізів не скривлюються і зберігають свою довжину.

3. Відстані (уздовж осі бруса) між поперечними перерізами не змінюються.

Виділимо двома поперечними перерізами елемент бруса завдовжки dx. В результаті деформації один перетин обернеться щодо іншого на кут . Вважатимемо лівий переріз елементу dx нерухомо закріпленим. Тоді величина буде кутом повороту правого торцевого перерізу елементу навколо подовжньої осі бруса.

Поздовжнє волокно C₁ C₂, що знаходиться на відстані р від осі бруса, можна розглядати як паралелепіпед заввишки dx з нескінченно малими основами C₁C₂. Цей паралелепіпед в результаті деформації перекосить і займе положення C₁C₂. Основа C₂ при цьому зміститься (зсунеться) в своїй площині, обернувшись разом з правим торцевим перерізом даного елементу на кут навколо подовжньої осі бруса. Величина C₁C₂ його зсуву є:

і є абсолютним зсувом основи C₁C₂ паралелепіпеда в напрямі, перпендикулярному радіусу р. Відношення цієї величини до висоти паралелепіпеда dx є відносним зсувом

По основі C₂ паралелепіпеда у напрямі зсуву, тобто перпендикулярно радіусу р, діють дотичні напруження . Величина їх на підставі закону Гука при зсуві рівна

=G   =  G.

Отже, в поперечних перерізах бруса при крученні виникають дотичні напруження, напрям яких в кожній точці перпендикулярний радіусу, що сполучає цю точку з центром перерізу, а значення прямо пропорціональне відстані точки від центру. У центрі (при р = 0) дотичні напруження дорівнюють нулю; у точках же, розташованих в безпосередній близькості від зовнішньої поверхні бруса, вони найбільші. Графік зміни величин т уздовж якого-небудь радіусу (тобто епюра дотичних напружень) зображується прямою лінією.

3. Напруження і деформації при крученні

На всіх гранях елементарного паралелепіпеда нормальні напруження відсутні, а цей паралелепіпед знаходиться в напруженому стані чистого зсуву. Іншими словами, в усіх точках круглого бруса при крученні створюється напружений стан чистого зсуву.

Розглянемо два елементарні площадки dА поперечного перерізу бруса, розташовані на загальному діаметрі на рівних відстанях від центру перерізу. Сили, що діють на кожний з цих площадок, рівні dА, розташовані в площині поперечного перерізу бруса і направлені перпендикулярно діаметру в протилежні сторони. Вони утворюють елементарну пару сил. Таких пар в поперечному перерізі виникає незліченна множина. Всі вони приводяться до одного моменту, що діє в площині поперечного перерізу і що є що крутним моментом Т.

Встановимо залежність між ним, і дотичними напруженнями, що виникають в поперечному перерізі бруса. Момент елементарної сили dА щодо центру перерізу (або, що те ж саме, щодо подовжньої осі бруса) рівний добутку цієї сили на відстань р від майданчика dА до центру перерізу значить , звідки

Тоді але =G, отже

(1)

Найбільше дотичне напруження виникає в безпосередній близькості до зовнішньої бічної поверхні при отже

(2)

де – полярний момент опору.

Полярним моментом опору перерізу називається відношення полярного моменту інерції до відстані від центру тяжіння перетину до найбільш видаленої його точки. Полярний момент опору виражається в см³, м³ і т.д (див. лекцію 9).

Полярний момент інерції круглого поперечного перерізу визначається по формулі:

отже, полярний момент опору рівний

Формули застосовуються і в тому випадку, якщо поперечний переріз має форму кільця, оскільки характер деформації при крученні для обох вказаних форм поперечних перерізів однаковий.

Полярний момент інерції кільцевого перерізу визначається по формулі:

, де .

Полярний момент опору кільцевого перерізу визначається по формулі

.

Відзначимо, що полярний момент опору кільцевого перерізу не рівний різниці полярних моментів опору, підрахованих для двох суцільних перерізів: одного з діаметром, рівним зовнішньому діаметру кільця, а іншого – внутрішньому.

При однаковій площі поперечного перерізу (тобто при однаковій витраті матеріалу) полярні момент інерції і момент опору для кільцевого перерізу, який не має площадок, близько розташованих до центру, значно більше ніж для суцільного круглого перерізу. Але при виготовлені кільцевий переріз дорожчий.

Повний кут закручення: , якщо ж Т постійний в перерізі то:

(3)

Тут – жорсткість перерізу при крученні.