4.4 Линейные и нелинейные элементы и цепи

Все электрические цепи делятся на линейные и нелинейные.

Элементы цепи, вольт-амперная, вебер-амперная или кулон-вольтная характеристики, которых являются прямыми линиями (рисунок 2 б), называют линейными. Элементы цепи, вольт-амперная, вебер-амперная или кулон-вольтная характеристики, которых не являются прямыми линиями (рисунок 2 в), называют нелинейными. Электрическая цепь называется линейной, если она состоит из элементов, у которых зависимость между током и напряжением, током и потокосцеплением, зарядом и напряжением линейная. В противном случае электрическая цепь называется нелинейной. Следовательно, в линейной электрической цепи все элементы – линейные, а нелинейной называют электрическую цепь, содержащую хотя бы один нелинейный элемент. Для линейных электрических цепей законы Кирхгофа записываются в виде системы линейных уравнений, в результате решения которой определяется режим работы электрической цепи. В линейных электрических цепях справедлив суперпозиции принцип. Расчёт нелинейных электрических цепей производится графическими или численными методами с использованием приближения и интерполирования функций.

Резисторы, конденсаторы и индуктивности мы будем рассматривать как линейные элементы, для которых связь между напряжением на элементе и током, протекающем через него описывается линейным (алгебраическим или дифференциальным) уравнением:

; (15)

; (16)

(17)

где U_R - напряжение на резисторе , i_R - ток, протекающий через него, R – сопротивление резистора, U_c – напряжение на конденсаторе, - заряд на конденсаторе, С – емкость конденсатора, U_L – напряжение на индуктивности, di_L/dt – скорость изменения тока на ней, L – индуктивность катушки.

Строго говоря, все реальные элементы нелинейны, однако, во многих случаях отклонение от линейности настолько мало, что им можно пренебречь и рассматривать элементы как линейные.

4.6 Квазистационарные процессы. Rc- и rl-цепи

В цепях постоянного тока распределение электрических зарядов на проводниках и токов на участках цепи стационарно, то есть неизменно во времени. Электромагнитное поле в таких цепях состоит из электростатического поля неподвижных зарядов и магнитного поля постоянных токов. Эти поля существуют независимо друг от друга.

Если на каком-то участке цепи происходят изменения силы тока или напряжения, то другие участки цепи могут «почувствовать» эти изменения только через некоторое время, которое по порядку величины равно времени τ распространения электромагнитного возмущения от одной точки цепи к другой. Так как электромагнитные возмущения распространяются с конечной скоростью, равной скорости света c , то , где l – расстояние между наиболее удаленными точками цепи. Если это время τ много меньше длительности процессов, происходящих в цепи, то можно считать, что в каждый момент времени сила тока одинакова во всех последовательно соединенных участках цепи. Процессы такого рода в электрических цепях, а также сами цепи, называются квазистационарными.

Если величина действующей в электрической цепи (ЭДС) изменяется, то это вызовет соответствующее изменение тока и напряжения на различных участках цепи. Однако, изменение электрического состояния цепи происходит не мгновенно, а в течение конечного промежутка времени. Поэтому различают переходное (нестационарное) и установившееся (стационарное) состояние цепи.

В дальнейшем будем полагать также, что мгновенные значения тока практически одинаковы на всех участках электрической цепи. Это условие называется условием квазистационарности. Если протяженность электрической цепи l , то электромагнитное возмущение распространяется вдоль цепи за время l/c (где с=310⁸ м/с – скорость распространения).Следовательно условие квазистационарности будет выполнено, если , где Т – характерное время изменения электрического колебания в цепи(например, период колебания).

Квазистационарные процессы можно исследовать с помощью законов постоянного тока, если применять эти законы к мгновенным значениям сил токов и напряжений на участках цепи.

Из-за огромного значения скорости света время установления в цепи электрического равновесия оказывается весьма малым. Поэтому к квазистационарным можно отнести многие достаточно быстрые в обычном смысле процессы. Например, быстрые колебания в радиотехнических цепях с частотами порядка миллиона колебаний в секунду и даже выше очень часто еще можно рассматривать как квазистационарные.

Простыми примерами квазистационарных процессов могут служить процессы, происходящие в RC- и RL-цепях при подключении и отключении источника постоянного тока.

На рисунок 8 изображена электрическая цепь, состоящая из конденсатора с емкостью C, резистора с сопротивлением R и источника тока с ЭДС, равной ε.

Рисунок 8

Цепи зарядки и разрядки конденсатора через резистор

Если замкнуть ключ K в положение 1, то начинается процесс зарядки конденсатора через резистор. Для квазистационарной цепи по закону Кирхгофа можно записать:

RJ + U =ε, (18)

где J – мгновенное значение силы тока в цепи, U – мгновенное значение напряжения на конденсаторе. Сила тока J в цепи равна изменению заряда q конденсатора в единицу времени: Напряжение U на конденсаторе в любой момент времени равно q / C. Из этих соотношений следует

(19)

Мы получили дифференциальное уравнение, описывающее процесс зарядки конденсатора. Если конденсатор вначале не был заряжен, то решение этого уравнения имеет вид

, (20)

где τ = RC – так называемая постоянная времени цепи, состоящей из резистора и конденсатора. Величина τ является характеристикой скорости процесса. При t → ∞, U (t) → ε. Процесс зарядки конденсатора через резистор изображен на Рисунке 9 (I).

Рисунок 9

Зарядка (I) и разрядка (II) конденсатора через резистор

Если после того, как конденсатор полностью зарядился до напряжения ε, ключ K перебросить в положение 2, то начнется процесс разрядки. Внешний источник тока в цепи разрядки отсутствует (ε= 0). Процесс разрядки описывается выражением

(21)

Зависимость U (t) в процессе разрядки изображена на Рисунок 9 (II). При t = τ напряжение на конденсаторе уменьшается в e ≈ 2,7 раз.

Аналогично протекают процессы в цепи, содержащей катушку с индуктивностью L и резистор с сопротивлением R (Рисунок 10).

Рисунок 10

Цепь, содержащая катушку с индуктивностью L, резистор с сопротивлением R и источник тока с ЭДС, равной ε

Если в цепи, изображенной на Рисунке 10, ключ K сначала был замкнут, а затем внезапно разомкнут, то начнется процесс установления токаЭтот процесс описывается уравнением

(22)

Это уравнение по виду совпадает с уравнением, описывающим зарядку конденсатора, только теперь переменной величиной является сила тока J. Решение этого уравнения имеет вид

(23)

где постоянная времени τ = L / R. Аналогичным образом можно получить закон убывания тока в RL-цепи после замыкания ключа K:

(24)

Следует отметить, что процессы в RC- и RL-цепях аналогичны механическим процессам при движении тела в вязкой жидкости.