Гармонический осциллятор

Теперь рассмотрим обобщенную задачу о гармоническом осцилляторе, т.е. о какой-либо системе, совершающей колебания, описываемые уравнением вида ( 9.6 ) или ( 9.14 ):

. ( 9.18 )

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, электрический колебательный контур без потерь и т.п. системы без потерь энергии.

1. Пружинный маятник: В простейшем случае пружинный маятник представляет собой груз (материальную точку) массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = ─kх, где k – жесткость пружины.

Естественно, что уравнение движения такого маятника будет описываться уравнением (9.14):

, или . ( 9.19 )

Из уравнений ( 9.18 ) и ( 9.1 ) следует, что груз, подвешенный на пружине, т.е. физический маятник, совершает гармонические колебания по закону х ( t ) =

= А соs ( ω_о t + φ ) с циклической частотой ω₀, равной

. ( 9.20 )

Формула ( 9.20 ) справедлива для упругих колебаний груза на пружине, т.е. при деформации пружины в пределах, когда выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела, а груз не вызывает необратимой деформации пружины.

Максимальная потенциальная энергия пружинного маятника ( а также полная энергия системы ) может быть найдена по формуле:

( 9.21 )

Математический маятник:

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити ( стержне ) длиной l , и колеблющаяся под действием силы тяжести ( см. рис. 9.3 ).

Рис. 9.3. К выводу формулы для периода колебаний математического маятника: точка О – положение равновесия; ВО=ВС= l – длина невесомой нити (подвеса); точка В – точка подвеса

Отклоним шарик ( материальную точку ) на малый угол φ и отпустим – под действием составляющей силы тяжести Fв ( возвращающая сила ) материальная точка будет совершать колебания.

Покажем, что при малых углах отклонения эти колебания будут гармоническими и найдём период этих колебаний.

Разложим мысленно силу тяжести , действующую на материальную точку в положении С на две составляющие , направленные соответственно вдоль стержня и перпендикулярно к нему. Сила = m Cos α будет растягивать стержень у уравновесится силой реакции стержня . Неуравновешенной останется составляющая силы тяжести . Когда груз придет в наинизшее положение, т.е. в точку О, силы и полностью уравновесятся, т.е. точка О есть положение равновесия материальной точки.

При колебаниях материальная точка будет двигаться по дуге окружности ОС, но для малых углов с большой степенью точности можно заменить дугу ОС хордой ОС , которая в точке С будет эквивалентна касательной к дуге окружности ОС в точке С. Поэтому условно можно будет считать что материальная точка совершает колебания вдоль прямой на которой находится хорда ОС. Совместим ось оХ с хордой ОС, поместив начало координат в точу О и запишем 2-й закон Ньютона для движения точки:

( 9.22 )

Для малых углов справедливы соотношения:

, ( 9.23 )

поэтому уравнение ( 9.22 ) в проекции на ось оХ запишется в виде:

. ( 9.24 )

Сравнивая уравнение ( 9.24 ) с уравнением ( 9.14 ), видим, что возвращающая сила F_B является квазиупругой силой с коэффициентом k₁ = mg / l. Но для уравнения ( 9.14 ) мы уже знаем решение:

, ( 9.25 )

так что для математического маятника:

. ( 9.26 )

Амплитуда колебаний А и начальная фаза колебаний φ₀ математического маятника будут зависеть от начального смещения материальной точки от положения равновесия и от её начальной скорости в момент времени t=0. Формула ( 9.26 ) для периода колебаний математического маятника при малых углах отклонения от положения равновесия носит название формулы Гюйгенса.

3. Физический маятник:

Это твёрдое ( материальное ) тело, которое может совершать гармонические колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, расположенной выше центра масс маятника ( см. рис. 9.4 ).

Рис. 9.4. К выводу формулы для периода колебаний физического маятника:

точка О – горизонтальная ось вращения; точка С – центр масс физического маятника.

Отклоним физический маятник ( например, в виде однородного стержня массой m и длиной l, точка подвеса которого находится на одном из концов, как это изображено на рис. 9.4.) на малый угол φ – в этом положении маятника у силы тяжести появится плечо ОD = а. Поэтому мы можем записать основное уравнение динамики вращательного движения:

. ( 9.27 )

Если обозначить ОС = d – расстояние от оси вращения до центра масс физического маятника, то a = d sin φ ≈ dφ при малых углах φ. Тогда уравнение (9.27) перепишется в виде:

, ( 9.28 а )

или

( 9.28 б )

( отсчёты угла φ и возвращающей силы Fв всегда направлены противоположно, отсюда и знак « ─ » в уравнении ). Но уравнение ( 9.28б ) нам уже известно – это и уравнение ( 9.14 ) и уравнение ( 9.19 ), так что мы можем сразу записать соотношения:

. ( 9.29 )

По аналогии с пружинным маятником:

. ( 9.30 )

Иногда формулу ( 9.29 ) записывают в форме, которую мы получили для математического маятника:

, ( 9.31 )

где ─ приведенная длина физического маятника.

Если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников будут одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника ─ это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.