Комплексная форма представления гармонических колебаний. Векторная диаграмма.

В физике часто используют форму записи колеблющейся величины не через тригонометрические функции синуса или косинуса, а в виде представления через комплексное число с использованием формулы Л. Эйлера для комплексных чисел:

, ( 9.7 )

где i= - мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания (9.1) можно записать в комплексной форме:

( 9.8 )

Вещественная часть выражения ( 9.8 ) описывает гармоническое колебание:

Re (S) = A cos (ω_оt + φ ) = S . ( 9.9 )

Обычно обозначение Rе вещественной части комплексного числа в технических текстах опускают и используют упрощенную форму записи:

. ( 9.10 )

В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина S равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в равенстве ( 9.10 ) справа.

Гармонические колебания можно наглядно представить также с помощью метода вращающегося вектора амплитуды или иначе – метода векторных диаграмм.

Фактически мы уже знакомы с этим методом – вспомним рис 9.1. Для построения векторной диаграммы из произвольной точки О ( рис. 9.2 ), выбранной на оси оХ, под углом φ, равным начальной фазе колебаний откладывается вектор , модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω_о, равной циклической частоте колебаний ω_о, то проекция конца вектора будет перемещаться вдоль оси оХ и принимать значения от –А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону S ( t ) = А cos ( ω_оt + φ ).

Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось ( например, ось оХ ) вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом φ, равным начальной фазе колебания, и вращающегося с угловой скорости ω_о вокруг этой точки. Такой метод называется методом векторных диаграмм.

Рис. 9.2. Метод векторных диаграмм для графического изображения гармонических колебаний.

Свободные колебания. Энергия колебаний. Гармонический осциллятор.

Мы уже записывали, что свободные колебания – это разновидность гармонических колебаний системы, которые совершают за счет первоначально сообщенной системе энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему, т.е. в отсутствие потерь энергии.

Теперь мы выясним, какими силами вызываются гармонические колебания, воспользовавшись для этого законами динамики. Пусть материальная точка массой m совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат оХ около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты Х от времени t задается уравнением, аналогичным уравнению ( 9.1 ):

Х ( t ) = А cos ( ω_оt + φ ) . ( 9.11 )

Скорость V ( t ) и ускорение а ( t ) колеблющейся материальной точки в любой момент времени будут соответственно задаваться уравнениями:

( 9.12 )

( 9.13 )

В соответствии со 2-м законом Ньютона, на колеблющуюся материальную точку массой m будет действовать сила, по модулю равная F = ma:

. ( 9.14 )

Следовательно, при гармонических колебаниях сила пропорциональна смещению материальной точки от положения равновесия и направлена в противоположную сторону ( к положению равновесия ). Такого рода силы называются квазиупругими ( или упругими, если имеют место колебания тела под действием упругих деформаций подвеса материальной точки ).

Рассмотрим теперь энергетику гармонических колебаний материальной точки, колеблющейся под действием упругой или квазиупругой силы, подчиняющейся закону F( х ) = ─kх.

Кинетическую энергию материальной точки найдём из соотношения :

. ( 9.15 )

Из выражения ( 9.15 ) видим, что кинетическая энергия материальной точки осциллирует со временем с удвоенной частотой по сравнению с частотой её колебаний ω_о.

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием квазиупругой силы из положения равновесия до некоторого положения Х на оси ординат, может быть найдена интегрированием:

=

= . ( 9.16 )

- видим, что и потенциальная энергия колеблющейся материальной точки осциллирует с частотой 2ω_о, вдвое превышающей частоту колебаний точки.

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, может быть найдена из уравнений ( 9.15 ) и ( 9.16 ):

. .( 9.17 )

При гармонических колебаниях полная энергия системы остаётся постоянной, поскольку квазиупругие силы являются консервативными, для которых справедлив закон сохранения полной механической энергии.