21. Метод наименьших квадратов. Оценка дисперсии шибок.

МНК – оценка нах-ся из условия min суммы коэф-ов отклонений наблюдаемых значений эндогенной переменной от ожидаемых значений.

- остаток отклонений

Оценка дисперсии ошибок

Вектор прогнозных знач-й , соответст-щих перем-х х опр-ся:

Отклонение наблюдаемых значений эндогенной переменной и от значений наз-ся остатками модели.

Сумма квадратов остатков явл-ся естественным кандидатом на оценку дисперсионных ошибок.

МНК оц-ка S² дисп. ошибок опр-ся как нормирование Σ квадратов остатков

, - станд-ое отклонение зависимой переменной отн-но ф-ции регрессии – станд. ошибка регрессии.

Оц-ка дисперсии S² явл. состоятельной и эффективной оц-кой: при выполнении условий 1-3(а,б,в) справедливы след. утверждения:

1. оц-ка вектора β имеет нормальное распределение параметра

2. Нормиров-е Σ квадратов остатков имеет распределение х²

3. Случ. вектор и е не зависят от соб.

4. и S² явл-ся независимыми

22. Проверка гипотез о параметрах модели. Доверительные интервалы

Гипотеза о допустимых значениях βi.

Полагаем, что: Н₁:βi= β₀ и Н₀:βi= βi₀

Проверка этой гипотезы осущ-тся с помощью критерия стат-ки t.

Если Н₁>t_c , t_{c –} некот. критич.уровень, то Н₀ отвершается на заданном ур-не значимости α.

Гипотеза о значимости коэффициентов регрессии.

H₀: β_i=0;

H₀: β_i не равно 0;

Если |t|> t_c – то Н₀ отклоняем.

Следовательно коэфф-т регрессии статистически значим; м/д завис. переем-ой и независ. x, сущ-ет достоверная статист. связь.

Заявление о том, что Н отвергается или неотвергается при опред. ур-не значимости не позволяет выдвинуть предпол-е о том, что значения β=некот. конкретному числу, однако справедлив вопрос: какие гип-зы совместимы с результатом оценивания регрессии, или насколько сильно гипотетич. знач-ие может отличаться от рез-та экспер-та прежде чем они станут несовметимыми.Область этих значения зад-тся интервалом, наз. доверительным интервалом.

Довер. интервал даёт доверит-ую оценку параметра, т.е диапазон значений, кот. будет включать истинное знач-е неизв. параметра с высокой, заранее опред-ой вероятностью,95% или 99%.

Гипотеза о дост-ти влияния всех независ-х перемен-х на зависимые.

Н₀: β₂= β₃=…= β_k=0.

Не отвергается, если f>fc, fc= fj(k-1,n-k), если же f<fc, то нет оснований отклонить Н₀,это даёт основание считать, что совокупное влияние объясняющих премен-х модели несущ-но, из этого следует, что общее кач-во модели невысоко.

Н₀: β_k+1= β_k+2=…= β_m=0.

Данная гипотеза позволяет оценить обоснов-ть исключ-ия или добавл-ия в ур-ние регрессии некот-ых наборов объясняющ-их факторов.

Новое кол-во перемен-ых объясняет величину (RSS_k – RSS_m)

Если f>fc, то этов пользу улучшения кач-ва модели за счёт добавления новых переем-х.(Н₀ отклоняется).

23. Проверка общего качества уравнения регрессии. Коэффициент детерминации

Проверка качества оценённого ур-ния регрессии включает в себя следующие направления:

• Проверка статистической значимости коэффициента ур-ния

• Проверка общего качества уравнения регрессии

• Проверка проверка выполнения основных гипотез МНК.