48. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Приведение общего уравнения эллипса к каноническому.

1. Эллипсом называется множество, состоящее из всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек плоскости и, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

2. В случае, когда фокусы эллипса  и расположены на оси Ox (или на оси Oy) симметрично относительно начала координат, его уравнение называется каноническим и имеет вид: , где a и b (a > b) - длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

3. Приведение общего уравнения эллипса к каноническому. Пример: Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей: . Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса.

48. Координаты фокусов эллипса и его эксцентриситет.

Точки  и , где , называются фокусами.

Число называется эксцентриситетом эллипса - величиной, равная отношению расстояния между фокусами к длине его большей оси. Так как , то . Чем ближе эксцентриситет к единице, тем эллипс более вытянут вдоль большей оси. Эксцентриситет  и коэффициент сжатия эллипса k связаны соотношением: .

51. Гипербола: определение. Общее и каноническое уравнения гиперболы. Координаты фокусов гиперболы и уравнения его асимптот.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается через а. Фокусы гиперболы обозначают буквами  и , расстояние между ними - через с. По определению гиперболы  .

 (1)

Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением гиперболы

Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженного) являются асимптотами гиперболы, их уравнения суть

, 

52. Определение параболы. Каноническое уравнение параболы. Приведение общего уравнения параболы к каноническому.

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F, расстояние от фокуса до директрисы - буквой р. Число р называется параметром параболы.

В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

 (1)

53. Координаты вершины и фокуса параболы. Уравнение директрисы параболы.

Фокус параболы обозначается буквой F, расстояние от фокуса до директрисы - буквой р. Число р называется параметром параболы

Директриса параболы имеет уравнение

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной