37. Базисное решение. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений.

Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е. r (A) < n, то система имеет множество решений.  Тогда переменные х1, х2, …, хr называются базисными, если минор, составленный из коэффициентов при этих неизвестных  0, остальные (n – r) – неизвестных называются свободными. Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю; в противном случае она называется неоднородной.

38. Векторы на плоскости и в пространстве: определение, параллельный перенос, равенство векторов. Классы равных векторов. Коллинеарные и компланарные векторы.

Направленный отрезок будем называть вектором. Первая точка в упорядоченной паре называется началом вектора, а вторая – его концом. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины Отметим следующие свойства отношения равенства между векторами:  1. АВ=ВА(рефлексивность).  2. Если АВ=CD , то CD=AB(симметричность).  3. Если АВ=CD и CD=EF, то AB=EF(транзитивность).  4. Если АВ=CD , то |AB|=|CD|.  5. Для любых точек A, B, C существует единственная точка D такая, что АВ=CD .

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых, т.е. существует прямая, которой они параллельны. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

39. Операции над векторами и их свойства

1. Сложение векторов коммутативно, т.е. для любых векторов и  выполнено .

2. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых векторов , и выполнено.

3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору, не меняет последнего:.

4. Для любого вектора векторявляется противоположным, т.е..

5. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е. для любых чисел ии любого вектора, выполнено.

6. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел: .

7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов: .

8. Умножение вектора на единицу не меняет вектора: .

40. Направляющие косинусы Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач

В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора a = {a_x ; a_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой

cos α =	ax	;	cos β =	ay
	|a|			|a|

Свойство:

cos² α + cos² β = 1

рис. 1

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи (рис. 2) направляющие косинусы вектора a = {a_x ; a_y ; a_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой

cos α =	ax	;	cos β =	ay	;	cos γ =	az
	|a|			|a|			|a|

Свойство:

cos² α + cos² β + cos² γ = 1

рис. 2

41. Координаты вектора. Декартова система координат в пространстве. Радиус-векторы: взаимнооднозначное соответствие между точками и направленными отрезками. Связь координат коллинеарных векторов.

Декартова система координат в пространстве  это три занумерованные взаимно перпендикулярные числовые оси, с общим началом отсчета О. Первая ось обозначается ОХ и называется осью абсцисс, вторая ось ОY называется осью ординат, третья ось ОZ называется осью апликат. Декартовыми координатами точки М в пространстве называются координаты проекций этой точки на оси ОХ, ОY, ОZ.Обозначение: М(x; y; z).

Теорема 12. 1). Расстояние между двумя точками М₁(x₁; y₁; z₁) и М₂(x₂; y₂; z₂) находят по формуле:=

Ра́диус-ве́ктор — вектор, задающий положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат. Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку. Определение. Взаимно однозначным соответствием между множествами Х и У называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества Х сопоставляется единственный элемент множества У и каждый элемент множества У соответствует только одному элементу множества Х. Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий: Условие коллинеарности векторов 1.  Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

a = n · b

Условия коллинеарности векторов 2.  Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны. N.B. Условие 2 неприменимо если один из компонентов вектора равен нулю. Условия коллинеарности векторов 3.  Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.