42. Линейно зависимые системы векторов и их свойства.

Если линейная комбинация  может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел  есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов  называется линейно зависимой.

Свойства:

1.Если к линейно зависимой системе векторов  добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

Доказательство. Так как система векторов  линейно зависима, то равенство  возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел . Пусть .

Добавим к исходной системе векторов еще s векторов , при этом получим систему . Так как  и , то линейная комбинация векторов этой системы вида   представляет собой нулевой вектор, а . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

2. Если в системе векторов  есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Доказательство. Пусть вектор  в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство  возможно только тогда, когда . Однако, если взять любое , отличное от нуля, то равенство  все равно будет справедливо, так как . Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.

3.Если система векторов  линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные.

Доказательство. Пусть система векторов  линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число  и при этом верно равенство . Это равенство можно разрешить относительно , так как , при этом имеем Следовательно, вектор  линейно выражается через остальные векторы системы , что и требовалось доказать.

43. Линейно независимые системы векторов и их свойства.

Если линейная комбинация  представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа  равны нулю, то система векторов  называется линейно независимой.

Свойства:

1.Если из линейно независимой системы векторов  исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Доказательство. Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

2.Если система векторов  линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Доказательство: Так как система векторов  линейно независима, то равенство  возможно лишь при .

44.Ранг и базис системы векторов. Разложение вектора по базису.

Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

 .

Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.

Доказательство. Пусть система  имеет базис  .

1 случай. Вектор  - из базиса. Следовательно, он равен одному из векторов базиса, допустим  . Тогда  =  .

2 случай. Вектор  - не из базиса. Тогда r>k.

Рассмотрим систему векторов  . Данная система является линейно зависимой, так как  - базис, т.е. максимальная линейно независимая подсистема. Следовательно, найдутся числа с₁, с₂, …, с_k, с, не все равные нулю, такие, что

 =  .

Очевидно, что  (если с=0, то базис системы является линейно зависимым).

 .

Докажем, что разложение вектора по базису единственно. Предположим противное: имеется два разложения вектора по базису.

 =  ,

 =  .

Вычитая эти равенства, получим.

Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим.

Следовательно, разложение вектора по базису единственно.

Количество векторов в любом базисе системы одинаково и равно рангу системы векторов.

Разложение вектора по базису

Вектор вида , где  () – некоторые числа, называется линейной комбинацией данных векторов . – коэффициенты линейной комбинации. Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Справедливы следующие теоремы

Т е о р е м а 1. Пусть даны два неколлинеарных вектора и. Любой компланарный с ними векторраскладывается по ним и такое разложение единственно. Т. е.,=+, гдеиединственные для этого векторавполне определенные числа.

Т е о р е м а 2. Пусть даны три некомпланарных вектора ,и. Любой векторраскладывается по ним и такое разложение единственно. Т. е.,=++.

Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке. Базис позволяет однозначно сопоставить вектору упорядоченную тройку чисел ,,- коэффициентов разложения этого вектора по векторам базиса. С другой стороны, каждой упорядоченной тройке чисел при помощи базиса сопоставляется единственный вектор. Если,,- базис и=++, то числа,,называютсякоординатами вектора в данном базисе, при этом пишут. Аналогично дается определение базиса на плоскости, когда вектор имеет две координаты.

Действия над векторами, заданными своими координатами:

1.При умножении вектора на число все его координаты умножаются

на это число. Т.е., (++)=++и{,,}.

2. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. Т. е., если в выбранном базисе ,, то.

45. n-мерный вектор и векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства.

1) n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде  , где   - i-я компонента вектора   .

Векторное (линейное) пространство. Определение: множество V называется линейным пространством над полем К, если в нем введены две бинарные операции: сложение и умножение на число из поля. Удовлетворяющее аксиомам.

2) Линейное пространство R называется n -мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из  векторов являются зависимыми. Число n называется размерностью пространства R и обозначается dim(R). Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом. Его обозначают