54. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Определение. Скалярным произведением двух векторов иназывается число, равное произведению модулей векторовина косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов иобозначают, или.

Итак, по определению

,

где - угол между векторамита.

Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению считают равным нулю.

Поскольку по формуле

то формулу скалярного произведения можно записать еще и таким образом:

или

.

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из векторов на проекцию второго вектора на направление первого.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1.Скалярное произведение коммутативно, то есть для любых векторов . (2.14)

2. , т.е. для произвольного вектора его скалярный квадрат равняется квадрату модуля этого вектора. Отсюда. (2.15)

3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен нулю.

4. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного множителя, то есть. (2.16)

5. Скалярное произведение дистрибутивный относительно сложения, то есть для произвольных трех векторов имеет место равенство

.

6. Векторы ортонормального базиса удовлетворяют соотношениям:

55. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов. Нормальный вектор прямой (на плоскости) и плоскости (в пространстве).

Скалярным произведением ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

, .

Скалярное произведение обладает свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , если ;

5. , если или (и) или .

Способ задания вектора его координатами. Разложение вектора по базису.

Вектор может быть задан:

1. Координатами вектора α=(a_x;a_y;a_z)

2. Координатами начальной А(x₁;y₁;z₁) и конечной B(x₂;y₂;z₂) точек.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Теорема. Любой вектор n-мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Базисом пространстваназывают такую систему векторов в которой все остальные векторы пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов, входящих в базис. На практике это все реализуется достаточно просто. Базис, как правило, проверяют на плоскости или в пространстве, а для этого нужно найти определитель матрицы второго, третьего порядка составленный из координат векторов. Ниже схематически записаны условия, при которых векторы образуют базис Чтобы разложить вектор b по базисным векторам  e[1],e[2]...,e[n] необходимо найти коэффициенты x[1], ..., x[n] при которых линейная комбинация векторов e[1],e[2]...,e[n] равна вектору b: x1*e[1]+ ... + x[n]*e[n] = b.  Для этого векторное уравнение следует преобразовать к системе линейных уравнений и найти решения. Это также достаточно просто реализовать. Найденные коэффициенты x[1], ..., x[n] называются координатами вектора b в базисе e[1],e[2]...,e[n].  Перейдем к практической стороне темы.

Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной.

Из определения нормального вектора прямой понятно, что существует бесконечное множество нормальных векторов данной прямой.

Так как прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и второй прямой, то можно утверждать, что множества нормальных векторов параллельных прямых совпадают. То есть, если прямые a и a₁ параллельны и  - нормальный вектор прямой a, то  также является нормальным вектором прямой a₁. Более того, если  нормальный вектор прямой a, то любой вектор при некотором ненулевом действительном значении t также является нормальным вектором прямой a (смотрите статью условие коллинеарности векторов).

Определение нормального вектора прямой и определение направляющего вектора прямой позволяют заключить, что любой нормальный вектор данной прямой перпендикулярен любому направляющему вектору этой прямой.

Приведем пример нормального вектора прямой.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy. Одним из множества нормальных векторов координатной прямой Ox является координатный вектор . Действительно, вектор  ненулевой и лежит на координатной прямой Oy, которая перпендикулярна оси Ox. Множество всех нормальных векторов координатной прямой Ox в прямоугольной системе координат Oxy можно задать как .

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве нормальным вектором прямой Oz является вектор . Координатный вектор  также является нормальным вектором прямой Oz. Очевидно, что любой ненулевой вектор, лежащий в любой плоскости, перпендикулярной оси Oz, будет нормальным вектором прямой Oz.

Нормальный вектор плоскости - это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости.

Из определения следует, что существует бесконечное множество нормальных векторов данной плоскости.

Так как все нормальные векторы заданной плоскости лежат на параллельных прямых, то все нормальные векторы плоскости коллинеарны. Другими словами, если  - нормальный вектор плоскости , то вектор  при некотором ненулевом действительном значении t также является нормальным вектором плоскости (смотрите статью условие коллинеарности векторов).

Также следует заметить, что любой нормальный вектор плоскости можно рассматривать как направляющий вектор прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

Множества нормальных векторов параллельных плоскостей совпадают, так как прямая, перпендикулярная к одной из параллельных плоскостей, перпендикулярна и ко второй плоскости.

Из определения перпендикулярных плоскостей и определения нормального вектора плоскости следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей перпендикулярны.

Приведем пример нормального вектора плоскости.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координатOxyz. Координатные векторы  являются нормальными векторами плоскостей Oyz, Oxz и Oxy соответственно. Это действительно так, потому что векторы ненулевые и лежат на координатных прямых Ox, Oy и Oz соответственно, которые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz, Oxz и Oxy соответственно.