- •1. Предмет и метод аналитической геометрии. Начальные понятия геометрии.
- •2. Направленные отрезки на оси. Величина направленного отрезка. Линейные операции над направленными отрезками.
- •8. Прямая на плоскости: уравнение прямой в отрезках.
- •9.Общее уравнение прямой и его исследование
- •11. Определение угла между двумя прямыми на плоскости. Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •12. Условие параллельности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.
- •13. Условие параллельности прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.
- •21. Эквивалентность систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, приводящие к эквивалентным системам линейных уравнений.
- •22. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (метод исключения переменных). Основные шаги, прямой и обратный ход метода.
- •Формулы прямого хода
- •Обратный ход
- •23. Три варианта завершения прямого хода метода Гаусса: а) система несовместная, б) система совместная и неопределенная; в) система совместная и определенная.
- •24. Общее и частное решение системы линейных уравнений. Привести пример. Фундаментальная система решений.
- •25. Матрицы, операции над ними и их свойства: сложение матриц, умножение матрицы на число (произведение матрицы на число), транспонирование матриц.
- •26. Произведение матриц: умножение матрицы строки на матрицу-столбец; умножение матрицы на столбец; умножение строки на матрицу; умножение матриц.
- •27. Условия существования произведения матриц. Свойства операции умножения матриц.
- •Возведение матрицы в степень, условие существования степени матрицы.
- •Понятие определителя матрицы. Формулы для вычисления определителей 2-го и третьего порядков. Свойства определителя.
- •Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений. Исследование систем с определителем, равным нулю.
- •Миноры и алгебраические дополнения, их связь с определителем матрицы. Вычисление определителей методом разложения по строке или столбцу.
- •32. Обратная матрица: определение, условие существования. Присоединенная матрица.
- •33. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
- •34. Решение систем линейных уравнений с использованием обратной матрицы.
- •35. Ранг матрицы и его свойства. Алгоритм вычисления ранга матрицы.
- •36. Исследование систем линейных уравнений с использованием теоремы Кронекера-Капелли.
- •37. Базисное решение. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений.
- •38. Векторы на плоскости и в пространстве: определение, параллельный перенос, равенство векторов. Классы равных векторов. Коллинеарные и компланарные векторы.
- •39. Операции над векторами и их свойства
- •40. Направляющие косинусы Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач
- •Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач
- •41. Координаты вектора. Декартова система координат в пространстве. Радиус-векторы: взаимнооднозначное соответствие между точками и направленными отрезками. Связь координат коллинеарных векторов.
- •42. Линейно зависимые системы векторов и их свойства.
- •43. Линейно независимые системы векторов и их свойства.
- •44.Ранг и базис системы векторов. Разложение вектора по базису.
- •46. Линейная зависимость и системы линейных уравнений. Связь ранга матрицы с базисом системы векторов.
- •47. Общее уравнение кривой второго порядка. Определение вида кривой второго порядка по коэффициентам ее уравнения.
- •Определение окружности. Каноническое уравнение окружности. Приведения общего уравнения окружности к каноническому.
- •Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Приведение общего уравнения эллипса к каноническому.
- •Координаты фокусов эллипса и его эксцентриситет.
- •51. Гипербола: определение. Общее и каноническое уравнения гиперболы. Координаты фокусов гиперболы и уравнения его асимптот.
- •Определение параболы. Каноническое уравнение параболы. Приведение общего уравнения параболы к каноническому.
- •53. Координаты вершины и фокуса параболы. Уравнение директрисы параболы.
- •54. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •55. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов. Нормальный вектор прямой (на плоскости) и плоскости (в пространстве).
- •56. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •57. Смешанной произведение векторов и его свойство.
- •58. Общее уравнение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках. Общее уравнение плоскости в пространстве
- •59. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей в пространстве.
- •60. Общие уравнения прямой в пространстве. Канонические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки.
- •44 Параметрические уравнения прямой
- •45 Уравнение прямой в пространстве, проходящее через две различные данные точки.
- •61. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
- •62. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
8. Прямая на плоскости: уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой в отрезках
Уравнение (**), где все А, В, С отличны от нуля, можно привести к виду:
Действительно,
Числа а и b имеют простой геометрический смысл: это отрезки осей координат, которые отсекает прямая линия, удовлетворяющая этому уравнению.
Действительно, при х = 0 :
при у = 0 : х = а
9.Общее уравнение прямой и его исследование
Теорема: В декартовой прямоугольной системе координат Oxy на плоскости любая прямая может быть задана уравнением первой степени относительно x и y:
Аx+By+C=0 (1)
Где A,B,C – постоянные числа, причем A2 + B2 > 0 и обратно, всякое уравнение вида (1) определяет прямую. Вектор n = (A,B) перпендикулярен к прямой (1) и называется нормальным вектором прямой. Само уравнение называется общим уравнением прямой. Если В не равно 0, то уравнение можно представить в виде y=kx+b (k=tg α). Последнее уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
10. Построение прямой на плоскости по его уравнению. Чтобы построить прямую линию, достаточна нанести на чертеж две какие-нибудь ее точки. Для отыскания координат какой-либо точки, лежащей на прямой, выбираем произвольно значение одной из координат и по уравнению прямой находим соответствующее значение второй координаты.
Пример 1. Построить прямую, заданную уравнением
Положим, например, тогда или Следовательно, точка лежит на прямой. Аналогично, полагал, например, найдем точку также лежащую на прямой. Двумя найденными точками определяется прямая (рис. 44).
Пример 2. Построить прямую
Так как в уравнении отсутствует свободный член, то, прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Чтобы найти точку прямой, отличную от начала, положим равным, например, 1; тогда или
Следовательно, точка 1, — лежит на прямой. Остается провести прямую через эту точку и начало координат.
Рис. 44.
Замечание. Практически при построении прямой удобно использовать уравнение в отрезках, или найти точки пересечения прямой с осями координат.
11. Определение угла между двумя прямыми на плоскости. Угол между прямыми на плоскости
|
.
Две прямые параллельны, если k1 = k2 . Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 .
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
Определение. Прямая, проходящая через точку М1 (х1 , у1 ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
12. Условие параллельности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.
Уравнение вида
(1)
называется общим уравнением прямой.
Угол , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:
Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.
Если прямая задана общим уравнением
,
то ее угловой коэффициент определяется по формуле
.
Уравнение является уравнением прямой, которая проходит через точку (, ) и имеет угловой коэффициент k.
Если прямая проходит через точки (, ), (, ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле
.
Уравнение
является уравнением прямой, проходящей через две точки (, ) и (, ).
Если известны угловые коэффициенты и двух прямых, то один из углов между этими прямыми определяется по формуле
.
Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:.
Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение , или .
Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.